Участник:Odisub/Черновик

Определение

Так сложилось, что по причине злоупотребления нотацией словом узел в математике называют несколько тесно связанных между собой объектов разной природы. Кроме того

Все эти построения преследуют одну и ту же цель — как можно приближеннее к реальности топологически смоделировать поведение реальных заузленных веревок в пространстве.

В этом разделе вводится более аккуратная терминология

Геометрический узел — топологическое вложение одномерной сферы $S^{1}$ в трёхмерную сферу $S^{3}$.

образ геометрического узла

Их очень много и интуиция что похожие должны быть одним и т

Два геометрических узла ${\textrm {K}},{\textrm {Q}}\colon S^{1}\to S^{3}$ называются объемлюще-изотопными, если существует непрерывное отображение ${\textrm {H}}\colon S^{3}\times [0,1]\rightarrow S^{3}$, такое что отображение ${\textrm {H}}_{t}\colon S^{3}\to S^{3}$, переводящее $x$ в ${\textrm {H}}(x,t)$, является гомеоморфизмом для любого $t\in [0,1]$, отображение ${\textrm {H}}_{0}$ является тождественным, то есть ${\textrm {H}}(x,0)=x$ для любого $x\in S^{3}$, отображение ${\textrm {H}}_{1}$ переводит образ одного геометрического узла в образ другого, то есть ${\textrm {H}}({\textrm {K}}(S^{1}),1)={\textrm {Q}}(S^{1})$.

Отображение ${\textrm {H}}$ обычно называют объемлющей изотопией, а отношение «быть объемлюще-изотопными» на множестве всех геометрических узлов является отношением эквивалентности. Теперь можно ввести более определение:

Узел — класс эквивалентности геометрических узлов по отношению объемлющей изотопности.

Почему именно объемлющая изотопия?

Целью подбора отношения эквивалентности на множестве всех геометрических узлов является как можно более приближенное к реальности моделирование поведения физических узлов.

Иными словами, эквивалентными должны оказаться такие геометрические узлы, которые в реальности, представленные в виде физических нитей, могли бы быть переведены друг в друга физическими «шевелениями», непрерывными движениями, не допускающими разрыва и склейки нити.

Интуитивно кажется, что для описания подобных непрерывных деформаций можно использовать аппарат гомотопий.

Например, будем говорить, что два геометрических узла ${\textrm {K}},{\textrm {Q}}\colon S^{1}\to S^{3}$ называются гомотопными, если существует непрерывное отображение ${\textrm {F}}\colon S^{1}\times [0,1]\rightarrow S^{3}$, такое что ${\textrm {F}}(x,0)={\textrm {K}}(x)$ и ${\textrm {F}}(x,1)={\textrm {Q}}(x)$.

Отображение ${\textrm {F}}$ называется гомотопией и моделирует движение, переводящее один узел в другой внутри трёхмерной сферы. Можно думать что т это время Однако, такое определение оказывается слишком сильным для нашей задачи.

Дело в том, что с помощью гомотопии можно реализовать как требуемые физические движения, так и некоторые «запрещенные» нефизические, к примеру, гомотопией реализуется проход одной нити насквозь через другую в небольшой окрестности, то есть геометрический узел, у которого в небольшой окрестности первая нить идёт над второй гомотопен геометрическому узлу, у которого первая нить проходит под второй (такая операция ещё называется переключением перекрёстков). Несложно убедиться, что любой узел можно превратить в тривиальный с помощью последовательного применения конечного числа переключений перекрёстков, откуда следует, что все геометрические узлы гомотопны друг другу и рассматривать гомотопность как отношение эквивалентности на множестве всех геометрических узлов не просто но и бессмысленно.

Устранить эту проблему можно с помощью изотопии.

Например, будем говорить, что два геометрических узла ${\textrm {K}},{\textrm {Q}}\colon S^{1}\to S^{3}$ называются изотопными, если существует непрерывное отображение ${\textrm {F}}\colon S^{1}\times [0,1]\rightarrow S^{3}$, такое что ${\textrm {F}}(x,0)={\textrm {K}}(x)$ и ${\textrm {F}}(x,1)={\textrm {Q}}(x)$ и для каждого $t\in [0,1]$ отображение ${\textrm {F}}_{t}\colon S^{1}\to S^{3}$, переводящая $x$ в ${\textrm {F}}(x,t)$, является гомеоморфизмом на образ.

Отображение ${\textrm {F}}$ называется изотопией и тоже моделирует движение, переводящее один узел в другой внутри трёхмерной сферы, причем теперь в каждый момент времени узел должен оставаться узлом, то есть .

Кроме того, отношение «быть гомотопными» является отношением эквивалентности на множестве всех геометрических узлов.

Ключевая идея конструкции объемлющей изотопии, что движется не только сама кривая, но и всё пространство целиком, движется каждая точка пространства, в частности и точки кривой.

При данном определении узла, множество узлов оказывается уже счётным (это неочевидно и требует проверки) и больше удовлетворяет технически и интуитивно.

Можно рассмотреть и другое отношение эквивалентности на множестве всех геометрических узлов.

Два геометрических узла ${\textrm {K}},{\textrm {Q}}\colon S^{1}\to S^{3}$ называются эквивалентными в смысле гомеоморфизма, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм ${\textrm {F}}\colon S^{3}\to S^{3}$, такой что ${\textrm {F}}({\textrm {K}}(S^{1}))={\textrm {Q}}(S^{1})$.

И аналогичным образом задать другое определение узла, используя новое отношение эквивалентности.

Узел — класс эквивалентности геометрических узлов по отношению эквивалентности в смысле гомеоморфизма.

Почему гомеоморфизм должен сохранять ориентацию?

Также как и в прошлом определении изменяется именно внешнее пространство

Теорема: Два приведённых выше определения узла эквивалентны.

Доказательство эквивалентности двух определений узла

Узел — функция, образ, класс эквивалентности

Почему вкладывается окружность?

окружность, а не отрезок, потому что иначе тривиальная теория

Почему в трёхмерную сферу?

Трехмерная сфера компактна

Обобщенный узел — топологическое вложение сферы $S^{n}$ в сферу $S^{n+2}$ и класс этого вложения относительно объемлющей изотопии.

изучение пар многообразий

   1. изотопии и объемлющие изотопии
   2. объемлющие изотопии и гомеоморфизмы
   3. гладкость

Нередко словом узел называют

Типы узлов

   1. ручные и дикие узлы
   2. оснащенные узлы

Симметрии узлов

   1. хиральность и обратимость
   2. периодичность
   3. группа классов отображений

Операции над узлами

   1. переключение перекрестков и ленточная хирургия
   2. сателлитные операции
       1. связная сумма
       2. каблирование
       3. дублирование Уайтхеда
   3. мутация Конвея

Способы задания узлов

   1. плоские диаграммы
   2. прямоугольные диаграммы
   3. замыкание Александера кос
   4. плетеночное замыкание кос
   5. короткое замыкание кос
   6. меандрические диаграммы

Классы узлов и зацеплений

   1. торические
   2. кренделевые
   3. рациональные
   4. с малым индексом косы
   5. альтернированные
   6. расслоённые
   7. древовидные
   8. квазиположительные и сильно квазиположительные (?)

Дополнение узла

   1. поверхности Зейферта
   2. разложения Хегора

Группа узла

   1. квандл узла

Разложения узлов

   1. теорема Шуберта
   2. JSJ-разложение

Циклические накрывающие пространства

   1. числа кручения
   2. модуль Александера

Классификация Тёрстона

   1. гиперболические узлы

Конкордантность узлов

   1. ленточные и срезанные узлы
   2. кобордизм-расстояние

Открытые проблемы

   1. минимальное число перекрестков
   2. число развязывания
   3. гипотеза Фокса о срезанных узлах
   4. полиномиальные инварианты
   5. инварианты конечного типа

Вариации и обобщения

   1. струнные зацепления
   2. тенглы
   3. вложения графов
   4. вложения тел с ручками

Также смотри

   1. теория узлов
   2. теория кос
   3. трёхмерные многообразия

Шаблон устройства статьи про конкретный узел

Свойства

Комбинаторные

• Диаграмма и число перекрёстков

• Число мостов и рациональность

• Альтернированность и полуальтернированность

• Число развязывания

• Число отрезков

• Индекс косы

• Раскраски

• Сателлитность

• Свойства гордиевых графов

Алгебраические

• Простой или составной

• Полином Александера

• Полином Джонса

• Полином Кауфмана

• Полином HOMFLY-PT

• Детерминант и сигнатура

• Инвариант Арфа???

Топологические

• Дополнение и группа узла, квандл

• Род и Плёночный род

• Туннельное число

• Гомологии двулистного разветвленного накрытия

• Срезанность и срезанный род, ленточность

• Расслоенность

• Хирургии Дена по данному узлу

• Приклеивание 2-ручки по данному узлу

Геометрические

• Арк-индекс

• Торичность

• Гиперболичность и объем

• Лежандровость

• Канатная длина

Симметрии

Зеркальность и обратимость

Литература

• Мантуров В. О. Теория узлов (рус.). — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3.

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия (рус.). — Москва: МЦНМО, 1997. — Т. 352. — 351 с. — ISBN 5-900916-10-3.

• Сосинский А.Б. Хронология одной математической теории (рус.). — МЦНМО, 2005. — 112 с. — ISBN 5-94057-220-0.

• Adams C. C. The Knot Book. An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots (англ.). — New York: American Mathematical Society, 2004. — 307 p. — ISBN 978-0821836781.

• Adams C. C., Flapan, E., Henrich, A., Kauffman, L. H., Ludwig, L. D., Nelson, S. Encyclopedia of Knot Theory (англ.). — Chapman and Hall/CRC, 2020. — 954 p. — ISBN 978-1138297845.

• Burde G., Zieschang H., Heusener M. Knots (англ.). — Walter de gruyter, 2013. — Vol. 5. — 417 p. — ISBN 978-3110270747.

• Cromwell P. R. Knots and Links (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — 328 p. — ISBN 9780511809767.

• Kawauchi A. Survey on knot theory. (англ.). — Birkhäuser Basel, 1996. — 423 p. — ISBN 978-3-0348-9227-8. — doi:10.1007/978-3-0348-9227-8.

• Lickorish W. B. R. An introduction to knot theory (англ.). — Springer Science & Business Media, 1997. — Vol. 175. — 214 p. — ISBN 978-0387982540.

• Livingston C. Knot Theory (англ.). — The Mathematical Association of America, 1996. — Vol. 24. — 258 p. — (The Carus Mathematical Monographs). — ISBN 978-0883850275.

• Murasugi K., Kurpita B. Knot theory and its applications (англ.). — Boston: Birkhäuser, 1996. — 341 p. — ISBN 978-0-8176-4719-3.

• Rolfsen D. Knots and links (англ.). — American Mathematical Society, 2003. — Vol. 346. — 439 p. — ISBN 978-0821834367.

Узел Конвея
Свойства
Простой, несрезанный,

Узел Конвея (англ. Conway knot) – название для узла