Участник:Poiso Fobos/Черновик

Лемма Архимеда - теорема в планиметрии, связанная со свойствами двух окружностей, касающихся внутренним образом. Лемма Архимеда используется при доказательстве леммы Веррьера и критерия Архимеда, с помощью которого можно доказать теорему Фейербаха.

Лемма Архимеда: прямая $\displaystyle A_{1}A_{2}$ является биссектрисой угла $\displaystyle BA_{1}C$.

Формулировка

Если окружность вписана в сегмент окружности, стягиваемый хордой $\displaystyle BC$, и касается дуги в точке $\displaystyle A_{1}$, а хорды - в точке $\displaystyle A_{2}$, то прямая $\displaystyle A_{1}A_{2}$ является биссектрисой угла $\displaystyle BA_{1}C$.

Доказательства

Доказательство через равнобедренные треугольники

Пусть $\displaystyle O_{1}$ - центр малой окружности, $\displaystyle O_{2}$ - центр большой окружности, $\displaystyle A_{3}$ - точка пересечения $\displaystyle A_{1}A_{2}$ с большой окружностью, отличная от $\displaystyle A_{1}$ . Опустим из $\displaystyle O_{1}$ радиус в точку касания $\displaystyle A_{2}$ малой окружности с хордой $\displaystyle BC$. Тогда $\displaystyle O_{1}A_{2}\perp \displaystyle BC$. Проведём радиусы $\displaystyle O_{2}A_{1}$ и $\displaystyle O_{2}A_{3}$. Так как точка касания двух окружностей лежит на линии центров, то $\displaystyle O_{1}\in \displaystyle O_{2}A_{1}$. Рассмотрим $\bigtriangleup A_{3}O_{2}A_{1}$ и $\bigtriangleup A_{2}O_{1}A_{1}$: они являются равнобедренными, так как $O_{2}A_{1}=O_{2}A_{3}$ и $\displaystyle O_{1}A_{2}=O_{1}A_{1}$ как радиусы; тогда $\angle O_{2}A_{3}A_{1}=\angle O_{2}A_{1}A_{3}$ и $\angle O_{1}A_{2}A_{1}=\angle O_{1}A_{1}A_{2}$. Из этого следует, что $\angle O_{2}A_{3}A_{1}=\angle O_{1}A_{2}A_{1}$, то есть соответственные углы при прямых $A_{2}O_{1}$ и $A_{3}O_{2}$ равны, поэтому $A_{2}O_{1}$$\parallel$ $A_{3}O_{2}$. Тогда $A_{3}O_{2}$$\perp BC$. Так как радиус $A_{3}O_{2}$ большой окружности перпендикулярен хорде $\displaystyle BC$, то он является серединным перпендикуляром к этой хорде. Точка $\displaystyle A_{3}$ равноудалена от концов отрезка $\displaystyle BC$, то есть $A_{3}B=A_{3}C$. Из равенства хорд следует равенство вписанных углов, опирающихся на эти хорды, поэтому $\angle A_{3}A_{1}C=\angle A_{3}A_{1}B$. Следовательно прямая $\displaystyle A_{1}A_{2}$ является биссектрисой угла $\displaystyle BA_{1}C$.

О других доказательствах

Лемму Архимеда можно доказать:

• Через гомотетию. Для этого нужно рассмотреть гомотетию с центром в точке $\displaystyle A_{1}$, которая переводит малую окружность в большую (такая гомотетия существует, поскольку окружности касаются в точке $\displaystyle A_{1}$ ). Тогда прямая $\displaystyle BC$, которая является касательной к малой окружности, перейдёт в параллельную $\displaystyle BC$ прямую $l$, которая будет касательной к большой окружности. При этом точка касания $\displaystyle A_{2}$ прямой $\displaystyle BC$ с малой окружностью при гомотетии перейдёт в точку касания $l$ с большой окружностью, но так как эта точка должна лежать на прямой $\displaystyle A_{1}A_{2}$, то, очевидно, это будет точка $\displaystyle A_{3}$ ($\displaystyle A_{3}$ - точка пересечения $\displaystyle A_{1}A_{2}$ с большой окружностью, отличная от $\displaystyle A_{1}$). Так как дуги между параллельными касательной и хордой равны, то вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, также будут равны. То есть $\angle A_{3}A_{1}C=\angle A_{3}A_{1}B$. Следовательно прямая $\displaystyle A_{1}A_{2}$ является биссектрисой угла $\displaystyle BA_{1}C$.