Формула Лейбница для определителей

Формула Лейбница — выражение для определителя квадратной матрицы $A=(a_{i,j})$ размера $n\times n$ через перестановки её элементов:

$\det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},$

где $\operatorname {sgn}$ — функция знака перестановки в группе перестановок $S_{n}$, которая возвращает +1 или −1 для чётных и нечётных перестановок соответственно.

С использованием символа Леви-Чивиты и соглашений о суммировании Эйнштейна:

$\det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}}$.

Названа в честь Готфрида Лейбница, который ввёл понятие определителя и способ его вычисления в 1678 году.

Функция, определённая формулой Лейбница, является единственной знакопеременной мультилинейной функцией, обращающейся в единицу на единичной матрице. Таким образом, определитель может быть однозначно определён как знакопеременная мультилинейная функция, полилинейная относительно столбцов и строк, обращающаяся в единицу на единичной матрице.

Вычислительная сложность

Прямое вычисление по формуле Лейбница требует в общем случае $\Omega (n!\cdot n)$ операций, то есть количество операций, асимптотически пропорциональное факториалу $n$ (числу упорядоченных перестановок из $n$ элементов). Для больших $n$ определитель можно вычислить за $O(n^{3})$ операций путём формирования LU-разложения $A=LU$, обычно получаемого с помощью метода Гаусса или аналогичных методов, для которого $\det A=(\det L)(\det U)$, где определители треугольных матриц $L$ и $U$ равняются произведениям диагональных элементов матриц. Однако в практических приложениях вычислительной линейной алгебры явное вычисление определителя используется редко.

Смотрите также

• Дифференцирование поисковой функции
• Формула Лейбница (производной произведения)

Литература

• Определитель — статья из Математической энциклопедии. Д. И. Супруненко
• Lloyd N. Trefethen, David Bau. Numerical Linear Algebra. — SIAM, 1997. — ISBN 978-0898713619.
• Serge Lang. Linear Algebra. — Springer-Verlag, 2004. — (Undergraduate texts in mathematic). — ISBN 0-387-96412-6.