Функции Стеклова

Функции Стеклова — функции, введённые русским математиком В. А. Стекловым (в публикации 1907 года) для решения задач, связанных с представлением функций в виде рядов по системам собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.

Пусть $f$ — функция, интегрируемая на отрезке $[a,b]$. Тогда функция $f_{h}(x)=f_{h,1}(x)={\frac {1}{h}}\int \limits _{x-h/2}^{x+h/2}f(t)\,dt={\frac {1}{h}}\int \limits _{-h/2}^{h/2}f(x+t)\,dt$ называется функцией Стеклова первого порядка для $f$ с шагом $h>0$. Определенные по индукции функции $f_{h,r}(x)={\frac {1}{h}}\int \limits _{x-h/2}^{x+h/2}f_{h,r-1}(t)\,dt,\quad \ r=2,3,\ldots ,$ называются функциями Стеклова порядка $r$ для $f$ с шагом $h>0$.

Свойства

• Функция $f_{h}(x)$ имеет производную

${\frac {d}{dx}}f_{h}(x)={\frac {1}{h}}{\Bigl (}f(x+h/2)-f(x-h/2){\Bigr )}$

почти во всех точках отрезка $[a,b]$.

• Если $f$ абсолютно непрерывна на всей вещественной оси, то имеют место оценки:

$\sup \limits _{x\in (-\infty ,+\infty )}|f(x)-f_{h}(x)|\leq \omega _{f}(h/2),$

$\sup \limits _{x\in (-\infty ,+\infty )}{\Bigl |}{\frac {d}{dx}}f_{h}(x){\Bigr |}\leq {\frac {1}{h}}\omega _{f}(h),$

где $\omega _{f}(\cdot )$ — модуль непрерывности функции $f$.

• Если $f\in L^{p}(-\infty ,+\infty ),$ то аналогичные неравенства имеют место в норме этого пространства.

Литература

• Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации, — М.: Наука, 1965.
• Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование, — СПб: Изд-во СПбГУ, 1995.

Ссылки

Springer. Encyclopaedia of Mathematics.