Функция Ландау

Не следует путать с символами Ландау.

Функция Ландау $g(n)$ в теории чисел, названная в честь немецкого математика Эдмунда Ландау, определяется для любого натурального числа n как наибольший порядок элемента симметрической группы $S_{n}$.

Определения

Эквивалентные определения: $g(n)$ равно наибольшему из наименьших общих кратных (НОК) по всем разбиениям числа n, или максимальному числа раз, которое подстановка из n элементов может быть последовательно применена до первого появления первоначальной последовательности. Таким образом, формально:

$g(n)=\max \limits _{k_{1}+\ldots +k_{m}=n}HOK(k_{1},\ldots ,k_{m})$.

Например, 5 = 2 + 3 и НОК(2,3) = 6. Никакое другое разбиение не даёт бо́льшее наименьшее общее кратное, следовательно $g(5)=6$. Элемент порядка 6 в группе $S_{5}$ может быть записан в виде произведения двух циклов: (1 2) (3 4 5).

Свойства

Целочисленная последовательность g(0) = 1, g(1) = 1, g(2) = 2, g(3) = 3, g(4) = 4, g(5) = 6, g(6) = 6, g(7) = 12, g(8) = 15, … — последовательность A000793 в OEIS, названа в честь Эдмунда Ландау, доказавшего в 1902 году, что

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)}}}=1$

(где ln обозначает натуральный логарифм).

При этом локальные максимумы выражения под знаком предела случаются при n = 2, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17, 19, 30, 36, 40, … (последовательность A103635 в OEIS).

Утверждение о том, что

$\ln g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}$

для всех n, где $\operatorname {Li} ^{-1}$ обозначает обратную функцию к интегральному логарифму, эквивалентно гипотезе Римана.

Другие соотношения:

• ln НОК (1, 2, …, n) $\leqslant \ln g\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\sim n{\sqrt {\ln n}}$. Первое неравенство следует из того, что $1+2+\dots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$ — одно из разбиений, вторая асимптотика из утверждения Ландау.
• Пусть gpf(g(n)) — наибольший простой множитель g(n). Значения этой функции при n=2, 3, … будут 2, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 11, … (последовательность A129759 в OEIS). J.-L. Nicolas в 1969 показал, что $\operatorname {gpf} (g(n))\sim {\sqrt {n\ln n}}$. J.-P. Massias et al. (1988, 1989) показали, что для всех $n\geqslant 2$ $\operatorname {gpf} (g(n))\leqslant 2{,}86{\sqrt {n\ln n}}$, а J. Grantham (1995) показал, что для всех $n\geqslant 5$ константа 2,86 может быть улучшена до 1,328.

Литература

• E. Landau, «Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [О максимальном порядке перестановки заданного порядка]», Arch. Math. Phys. Ser. 3, vol. 5, 1903.
• W. Miller, «The maximum order of an element of a finite symmetric group» , American Mathematical Monthly, vol. 94, 1987, pp. 497—506.
• J.-L. Nicolas, «On Landau’s function g(n)», in The Mathematics of Paul Erdős, vol. 1, Springer-Verlag, 1997, pp. 228—240.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Landau Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A000793 в OEIS — функция Ландау для натуральных чисел.