Функция Розенброка

График функции Розенброка для двух переменных. Глобальный минимум перенесён в точку (1,1).

Функция Розенброка (англ. Rosenbrock function, Rosenbrock's valley, Rosenbrock's banana function) — невыпуклая функция, используемая для оценки производительности алгоритмов оптимизации, предложенная Ховардом Розенброком в 1960 году. Считается, что поиск глобального минимума для данной функции является нетривиальной задачей.

Является примером тестовой функции для локальных методов оптимизации. Имеет минимум 0 в точке (1,1).

Каноническое определение

Значение функции Розенброка для двух переменных в окрестности точки $(x,y)=(0,0)$.

Функция Розенброка для двух переменных определяется как:

$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}.\quad$

Она имеет глобальный минимум в точке $(x,y)=(1,1)$ где $f(x,y)=0$.

Многомерное обобщение

Встречаются два классических варианта многомерного обобщения функции Розенброка.

В первом случае, как сумма $N/2$ несвязанных двумерных функций Розенброка:

$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=\sum _{i=1}^{N/2}\left[100(x_{2i-1}^{2}-x_{2i})^{2}+(x_{2i-1}-1)^{2}\right].$

Более сложным вариантом является:

$f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N-1}\left[(1-x_{i})^{2}+100(x_{i+1}-x_{i}^{2})^{2}\right]\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{N}.$

Существует также вероятностное обобщение функции Розенброка, предложенное англ. Xin-She Yang:

$f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n-1}{\Big [}(1-x_{i})^{2}+100\epsilon _{i}(x_{i+1}-x_{i}^{2})^{2}{\Big ]},$

где случайные переменные $\epsilon _{i}(i=1,2,...,n-1)$ являются равномерно распределёнными Unif(0,1).

См. также

• Градиентный спуск
• Метод Нелдера — Мида

Литература

• Методические указания к исследовательской лабораторной работе по дисциплине «Математические основы кибернетики» // Крушель Е. Г., Степанченко О. В.  (недоступная ссылка с 13-05-2013 [4221 день] — история)
• Rosenbrock, H. H. (1960), "An automatic method for finding the greatest or least value of a function", The Computer Journal, 3: 175–184, doi:10.1093/comjnl/3.3.175, ISSN 0010-4620, MR: 0136042

Ссылки

• Rosenbrock function plot in 3D (англ.).
• Minimizing the Rosenbrock Function by Michael Croucher, The Wolfram Demonstrations Project (англ.).
• Weisstein, Eric W. Rosenbrock Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)
• Solving non-linear models with Compact Quasi Newton solver part 1 (англ.).