Цоколь (математика)
Термин цоколь имеет несколько связанных значений в математике.
Цоколь группы
[править | править код]В контексте теории групп цоколь группы G, обозначается soc(G), — это подгруппа, генерируемая характеристически простыми подгруппами[англ.] группы G. Может случиться, что группа не имеет минимальной нетривиальной нормальной подгруппы (то есть любая нетривиальная нормальная подгруппа содержит другую такую подгруппу), в этом случае цоколь определяется как подгруппа, генерируемая единичным элементом. Цоколь является прямым произведением характеристически простых групп[1].
Как пример, рассмотрим циклическую группу Z12 с генератором u, которая имеет две минимальные нормальные подгруппы, одна генерируется элементом u 4 (который даёт нормальную подгруппу с 3 элементами), а другая — элементом u 6 (который даёт нормальную подгруппу с 2 элементами). Тогда цоколь группы Z12 — это группа, генерируемая элементами u 4 и u 6, которая просто генерируется элементом u 2.
Цоколь является характеристической подгруппой, а следовательно, нормальной подгруппой. Она, однако, не обязательно является транзитивно нормальной[англ.].
Если группа G является конечной разрешимой группой, то цоколь можно выразить в виде произведения элементарных абелевых[англ.] p-групп. В этом случае он просто является произведением копий Z/pZ для различных p, где некоторые p могут встречаться несколько раз.
Цоколь модуля
[править | править код]В контексте модуля над кольцом и теории колец цоколь модуля M над кольцом R определяется как сумма минимальных ненулевых подмодулей модуля M. Он может рассматриваться как двойственный для радикала модуля[англ.]. В обозначениях теории множеств
- , где суммирование ведётся по всем подмодулям модуля M
что эквивалентно
- , где пересечение ведётся по всем существенным подмодулям модуля M
Цоколь кольца R может относиться к одному из множеств в кольце. Предположим, что определён правый модуль R, soc(RR), и определён левый модуль, soc(RR). Оба эти цоколя являются идеалами колец и известно, что они не обязательно совпадают.
- Если M является артиновым модулем, soc(M) сам является существенным подмодулем[англ.] модуля M.
- Модуль является полупростым тогда и только тогда, когда soc(M) = M. Кольца, для которых soc(M) = M для всех M, являются в точности полупростыми модулями.
- soc(soc(M)) = soc(M).
- M является конечнопорождённым модулем тогда и только тогда, когда soc(M) является конечнопорождённым и soc(M) является существенным подмодулем[англ.] модуля M.
- Поскольку сумма полупростых модулей является полупростым модулем, цоколь модуля можно определить как единственный максимальный полупростой подмодуль.
- Из определения rad(R) легко видеть, что rad(R) аннулирует[англ.] soc(R). Если R является конечномерной унитальной алгеброй и M является конечнопорождённым R-модулем, то цоколь состоит в точности из элементов, аннулируемых радикалом Джонсона кольца R[2].
Цоколь алгебры Ли
[править | править код]В контексте алгебр Ли цоколь симметричной алгебры Ли[англ.] — это собственное пространство его структурных автоморфизмов, которые соответствуют собственному значению −1. (Симметричная алгебра Ли разбивается на прямую сумму её цоколя и коцоколя[англ.].)[3].
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ Robinson, 1996, с. 87.
- ↑ Alperin, Bell, 1995, с. 136.
- ↑ Postnikov, 2001, с. 98.
Литература
[править | править код]- Alperin J.L., Bell R. B. Groups and Representations. — Springer-Verlag, 1995. — С. 136. — ISBN 0-387-94526-1.
- Frank Wylie Anderson, Kent R. Fuller. Rings and Categories of Modules. — Springer-Verlag, 1992. — ISBN 978-0-387-97845-1.
- Derek J. S. Robinson. A course in the theory of groups. — 2. — New York: Springer-Verlag, 1996. — Т. 80. — С. xviii+499. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-94461-3. — doi:10.1007/978-1-4419-8594-1.
- Mikhail Postnikov. Geometry VI: Riemannian Geometry. — 2001. — ISBN 3540411089.
- Постников М. М. Лекция 8, Симметрические алгебры и тернары Ли. // Риманова геометрия Семестр V. — Москва: «Факториал», 1998. — (Лекции по геометрии). — ISBN 5-88688-020-8.
- Alperin J. L., Bell R. B. Groups and Representations. — 1995. — Т. 162. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-94526-1.
Для улучшения этой статьи желательно:
|