Частное Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории чисел частным Ферма для целого a ≥ 2 по простой базе p называется дробь[1][2][3][4]

Если a взаимно просто с p, то малая теорема Ферма утверждает, что qp(a) будет целым. Частное названо в честь Пьера Ферма.

Из определения очевидно, что

В 1850 году Готтхольд Эйзенштейн (Gotthold Eisenstein) доказал, что если a и b оба взаимно просты с p, то:[5]

;
;
;
;
.

Эйзенштейн сравнивал два первых соотношения со свойствами логарифмов.

Из этих свойств вытекает

;
.

В 1895 году Дмитрий Мириманов (Dmitry Mirimanoff) указал на то, что последовательное применение правил Айзенштейна ведет к[6]

Отсюда следует, что[7]

Специальные случаи

[править | править код]

Айзенштейн обнаружил, что частное Ферма по основанию 2 сравнимо по модулю p с суммой обратных величин к числам от 1 до , то есть гармоническому числу :

Более поздние авторы показали, что число элементов в таком представлении может быть уменьшено до с 1/2 до 1/4, 1/5, или даже 1/6:

[8]
[9]
[10][11]

Сложность сравнений Айзенштейна увеличивается с ростом основания частных Ферма, несколько первых примеров:

[12]
[13]

Обобщенные простые Вифериха

[править | править код]

Если qp(a) ≡ 0 (mod p), то ap−1 ≡ 1 (mod p2). Простые, для которых это верно для a = 2 называются простыми Вифериха. В более общем случае они называются простыми числами Вифериха по простому основанию a. Известные решения qp(a) ≡ 0 (mod p) для малых a :[2]

a p последовательность OEIS
2 1093, 3511 A001220
3 11, 1006003 A014127
5 2, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801 A123692
7 5, 491531 A123693
11 71
13 2, 863, 1747591 A128667
17 2, 3, 46021, 48947, 478225523351 A128668
19 3, 7, 13, 43, 137, 63061489 A090968
23 13, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329 A128669

Наименьшее решение qp(a) ≡ 0 (mod p) с a = n-м простое

1093, 11, 2, 5, 71, 2, 2, 3, 13, 2, 7, 2, 2, 5, … последовательность A174422 в OEIS.

Пара (p,r) простых чисел, такая, что qp(r) ≡ 0 (mod p) и qr(p) ≡ 0 (mod r) называется парой Вифериха.

Примечания

[править | править код]
  1. Weisstein, Eric W. Fermat Quotient (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  2. 1 2 Fermat Quotient Архивная копия от 2 мая 2013 на Wayback Machine at The Prime Glossary
  3. Paulo Ribenboim, 13 Lectures on Fermat's Last Theorem (1979), особенно страницы 152, 159—161.
  4. Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory (2000), p. 216.
  5. Gotthold Eisenstein, "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden," Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuß. Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1850, 36—42
  6. Dmitry Mirimanoff, "Sur la congruence (rp − 1 − 1):p = qr (mod p)," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295—300
  7. Paul Bachmann, Niedere Zahlentheorie, 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.
  8. James Whitbread Lee Glaisher, "On the Residues of rp − 1 to Modulus p2, p3, etc.", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1—27.
  9. Ladislav Skula, "A note on some relations among special sums of reciprocals modulo p," Mathematica Slovaca 58 (2008): 5—10.
  10. Emma Lehmer, "On Congruences involving Bernoulli Numbers and the Quotients of Fermat and Wilson," Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, pp. 356ff.
  11. Karl Dilcher and Ladislav Skula, "A New Criterion for the First Case of Fermat's Last Theorem," Mathematics of Computation 64 (1995): 363—392.
  12. James Whitbread Lee Glaisher, "A General Congruence Theorem relating to the Bernoullian Function," Proceedings of the London Mathematical Society 33 (1900—1901): 27—56, at pp. 49—50.
  13. Mathias Lerch, "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…," Mathematische Annalen 60 (1905): 471—490.