Эргодическое распределение

Определение

Пусть $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ - однородная цепь Маркова с дискретным временем и счётным числом состояний. Обозначим

$p_{ij}^{(n)}=\mathbb {P} (X_{n}=j\mid X_{0}=i)$

переходные вероятности за $n$ шагов. Если существует дискретное распределение $\pi =(\pi _{1},\pi _{2},\ldots )^{\top }$, такое что $\pi _{i}>0,\;i\in \mathbb {N}$ и

$\lim \limits _{n\to \infty }p_{ij}^{(n)}=\pi _{j},\quad \forall i=1,2,\ldots$,

то оно называется эргоди́ческим распределе́нием, а сама цепь называется эргоди́ческой.

Основная теорема об эргодических распределениях

Пусть $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и матрицей переходных вероятностей $P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она

1. неразложима;
2. положительно возвратна;
3. апериодична.

Эргодическое распределение $\mathbf {\pi }$ тогда является единственным решением системы:

$\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}=1,\;\pi _{j}\geq 0,\;\pi _{j}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }\pi _{i}\,p_{ij},\quad \,j\in \mathbb {N}$.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.

См. также

• Стационарное распределение.