Q-критерий Розенбаума

Q-критерий Розенбаума — простой непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, измеренного количественно.

Описание критерия

Это очень простой непараметрический критерий, который позволяет быстро оценить различия между двумя выборками по какому-либо признаку. Однако если критерий Q не выявляет достоверных различий, это еще не означает, что их действительно нет.

В этом случае стоит применить критерий φ* Фишера. Если же Q-критерий выявляет достоверные различия между выборками с уровнем значимостир<0,01, можно ограничиться только им и избежать трудностей применения других критериев.

Критерий применяется в тех случаях, когда данные представлены по крайней мере в порядковой шкале. Признак должен варьировать в каком-то диапазоне значений, иначе сопоставления с помощью Q -критерия просто невозможны. Например, если у нас только 3 значения признака, 1, 2 и 3, - нам очень трудно будет установить различия. Метод Розенбаума требует, следовательно, достаточно тонко измеренных признаков.

Применение критерия начинаем с того, что упорядочиваем значения признака в обеих выборках по нарастанию (или убыванию) признака. Лучше всего, если данные каждого испытуемого представлены на отдельной карточке. Тогда ничего не стоит упорядочить два ряда значений по интересующему нас признаку, раскладывая карточки на столе. Так мы сразу увидим, совпадают ли диапазоны значений, и если нет, то насколько один ряд значений "выше" (S₁), а второй - "ниже" (S₂). Для того, чтобы не запутаться, в этом и во многих других критериях рекомендуется первым рядом (выборкой, группой) считать тот ряд, где значения выше, а вторым рядом - тот, где значения ниже.

Мощность критерия не очень велика. В том случае, если он не выявляет различий, можно обратиться к другим статистическим критериям, например, к U-критерию Манна-Уитни или критерию φ* Фишера.

Данные для применения Q-критерия Розенбаума должны быть представлены хотя бы в порядковой шкале. Признак должен измеряться в значительном диапазоне значений (чем более значительном – тем лучше).

Ограничения применимости критерия

1. В каждой из выборок должно быть не менее 11 значений признака.
2. Объемы выборок должны примерно совпадать.
   1. Если объемы выборок меньше 50, то абсолютная величина разности $n_{1}$ (количество единиц в первой выборке) и $n_{2}$ (количество единиц во второй выборке) не должна быть больше 10.
   2. Если объемы выборок между 50 и 100, то абсолютная величина разности $n_{1}$ и $n_{2}$ не должна быть больше 20;
   3. Если объемы выборок больше 100, то допускается, чтобы одна из выборок превышала другую не более чем в 1,5 – 2 раза.
3. Диапазоны значений признака в двух выборках не должны совпадать между собой.

Использование критерия

Для применения Q-критерия Розенбаума нужно произвести следующие операции.

1. Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания признака; принять за первую выборку ту, значения признака в которой предположительно выше, а за вторую – ту, где значения признака предположительно ниже.
2. Определить максимальное значение признака во второй выборке и подсчитать количество значений признака в первой выборке, которые больше его ($S_{1}$).
3. Определить минимальное значение признака в первой выборке и подсчитать количество значений признака во второй выборке, которые меньше его ($S_{2}$).
4. Рассчитать значение критерия $Q=S_{1}+S_{2}$.
5. По таблице определить критические значения критерия для данных $n_{1}$ и $n_{2}$. Если полученное значение Q превышает табличное или равно ему, то признается наличие существенного различия между уровнем признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Если же полученное значение Q меньше табличного, принимается нулевая гипотеза.

Таблица критических значений

Различия между двумя выборками достоверны с вероятностью 95% при p=0,05 и с вероятностью 99% при p=0,01. Для выборок, в которых больше чем 26 элементов, критические значения Q принимаются равными 8 (при p=0,05) и 10 (при p=0,01).

n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	n	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26
p=0,05																	p=0,01
11	6																11	9
12	6	6															12	9	9
13	6	6	6														13	9	9	9
14	7	7	6	6													14	9	9	9	9
15	7	7	6	6	6												15	9	9	9	9	9
16	8	7	7	7	6	6											16	9	9	9	9	9	9
17	7	7	7	7	7	7	7										17	10	9	9	9	9	9	9
18	7	7	7	7	7	7	7	7									18	10	10	9	9	9	9	9	9
19	7	7	7	7	7	7	7	7	7								19	10	10	10	9	9	9	9	9	9
20	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7							20	10	10	10	10	9	9	9	9	9	9
21	8	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7						21	11	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9
22	8	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7					22	11	11	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9
23	8	8	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7	7				23	11	11	10	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9
24	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	7	7	7	7			24	12	11	11	10	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9
25	8	8	8	8	8	8	8	8	8	7	7	7	7	7	7		25	12	11	11	10	10	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9
26	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	7	7	7	7	7	7	26	12	12	11	11	10	10	10	10	10	9	9	9	9	9	9	9

Литература

• Гублер Е.В., Генкин А.А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-биологических исследованиях. Л., 1973.
• Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. С-Пб., 2002.