垂足三角形

三角形 ABC 為黑色，從 P 延伸出去的三條垂線為藍色，由此得到的垂足三角形 LMN 為紅色

在幾何學上，垂足三角形（英語：Pedal triangle）是將一個點投影至三角形的邊上所得到的三角形。

具體地說，考慮一個三角形$ABC$，選定一個異於頂點$A,B,C$的點$P$。通過$P$對三角形的三邊做垂直線，將這些垂直線與${\overleftrightarrow {BC}},{\overleftrightarrow {AC}},{\overleftrightarrow {AB}}$的交點分別命名為$L,M,N$，則三角形$LMN$是一個垂足三角形。

性質

如果$ABC$不是鈍角三角形，則其垂足三角形$LMN$的內角角度分別為$180^{\circ }-2A$、$180^{\circ }-2B$、$180^{\circ }-2C$。 若$P$點位於三角形$ABC$的特殊中心上，則有一些特殊情況：

• 若$P$是$ABC$的垂心，則$LMN$是垂心三角形（英語：Orthic triangle）。
• 若$P$是$ABC$的內心，則$L,M,N$是$ABC$之內切圓的三個切點。
• 若$P$是$ABC$的外心，則$LMN$是中點三角形。

若$P$點以三角形$ABC$為基準的三線坐標是$p:q:r$，則其垂足三角形的頂點$L,M,N$坐標為：

$L=0:q+p\cos {C}:r+p\cos {B}$

$M=p+q\cos {C}:0:r+q\cos {A}$

$N=p+r\cos {B}:q+r\cos {A}:0$

相關定理

P 在外接圓上的情形，此時垂足三角形退化為一條線（紅色）

卡諾定理：紅色區域與藍色區域的面積相等

西姆松定理

主条目：西姆松定理

若$P$點位於$ABC$的外接圓上，則$L,M,N$共線，反之亦然。這條線被稱為垂足線（英語：Pedal line），又稱為西姆松線（英語：Simson line）。

卡諾定理

主条目：卡諾定理 (垂線)

$A,B,C,L,M,N$六點滿足以下等式：

${\overline {AN}}^{2}+{\overline {BL}}^{2}+{\overline {CM}}^{2}={\overline {NB}}^{2}+{\overline {LC}}^{2}+{\overline {MA}}^{2}$

反垂足三角形

三角形 ABC 為紅色，從 P 延伸至頂點的三條線為藍色，由此得到的反垂足三角形 LMN 為黑色

過$A$作一條垂直於${\overline {PA}}$的直線，過$B$作一條垂直於${\overline {PB}}$的直線，過$C$作一條垂直於${\overline {PC}}$的直線，則這三條直線構成的三角形稱為反垂足三角形（英語：Antipedal triangle）。在這個反垂足三角形中，設與$A$相對的頂點為$A^{\prime }$，與$B$相對的頂點為$B^{\prime }$，與$C$相對的頂點為$C^{\prime }$。

$ABC$是$A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }$在$P$點上的垂足三角形，這也是其名稱的由來。

若$P$點以三角形$ABC$為基準的三線坐標是$p:q:r$，則反垂足三角形的頂點$A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$坐標為：

$A^{\prime }=-(q+p\cos {C})(r+p\cos {B}):(r+p\cos {B})(p+q\cos {C}):(q+p\cos {C})(p+r\cos {B})$

$B^{\prime }=(r+q\cos {A})(q+p\cos {C}):-(r+q\cos {A})(p+q\cos {C}):(p+q\cos {C})(q+r\cos {A})$

$C^{\prime }=(q+r\cos {A})(r+p\cos {B}):(p+r\cos {B})(r+q\cos {A}):-(p+r\cos {B})(q+r\cos {A})$

一個特殊的例子是，如果$P$點位於內心，則該反垂足三角形以$ABC$的三個旁心為頂點。