已知 tan x + tan y + tan z = tan x × tan y × tan z {\displaystyle \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\times \tan y\times \tan z} ,證明 x + y + z = n π {\displaystyle x+y+z=n\pi } ,其中n為整數。 一個常見的三角函數定理證明題的逆定理,不知怎麼下手比較漂亮。謝謝!
tan x + tan y = tan ( x + y ) ( 1 − tan x tan y ) = tan ( x + y ) − tan ( x + y ) tan x tan y {\displaystyle \tan x+\tan y=\tan(x+y)(1-\tan x\tan y)=\tan(x+y)-\tan(x+y)\tan x\tan y} (和角公式)① ①式两边同时减去 t a n ( x + y ) {\displaystyle tan(x+y)} ,得: tan x + tan y − t a n ( x + y ) = − tan ( x + y ) tan x tan y {\displaystyle \tan x+\tan y-tan(x+y)=-\tan(x+y)\tan x\tan y} ② 若x, y其中至少一个角是锐角,则设x, y是某三角形的两个内角,另一个内角为z': 则 z ′ = π − ( x + y ) {\displaystyle z'=\pi -(x+y)} ,所以 tan ( x + y ) = − tan z ′ {\displaystyle \tan(x+y)=-\tan z'} 所以②式可转换为 tan x + tan y + t a n z ′ = tan z ′ tan x tan y {\displaystyle \tan x+\tan y+tanz'=\tan z'\tan x\tan y} 又因为已知条件 tan x + tan y + t a n z = tan x tan y tan z {\displaystyle \tan x+\tan y+tanz=\tan x\tan y\tan z} 可得 z = z ′ + m π {\displaystyle z=z'+m\pi } (m为整数) 所以 x + y + z = x + y + z ′ + m π = π + m π = n π {\displaystyle x+y+z=x+y+z'+m\pi =\pi +m\pi =n\pi } 若x, y都是钝角,则设π-x, π-y是某三角形的两个内角,另一个内角为z': 则 z ′ = π − ( π − x + π − y ) = ( x + y ) − π {\displaystyle z'=\pi -(\pi -x+\pi -y)=(x+y)-\pi } ,所以 tan ( x + y ) = tan z ′ {\displaystyle \tan(x+y)=\tan z'} 所以②式可转换为 tan x + tan y − t a n z ′ = − tan z ′ tan x tan y {\displaystyle \tan x+\tan y-tanz'=-\tan z'\tan x\tan y} 又因为已知条件 tan x + tan y + t a n z = tan x tan y tan z {\displaystyle \tan x+\tan y+tanz=\tan x\tan y\tan z} 可得 z ′ = o π − z {\displaystyle z'=o\pi -z} (o为整数) 所以 ( π − x + π − y ) + z ′ = ( π − x + π − y ) + o π − z = π {\displaystyle (\pi -x+\pi -y)+z'=(\pi -x+\pi -y)+o\pi -z=\pi } x + y + z = ( o + 1 ) π = n π {\displaystyle x+y+z=(o+1)\pi =n\pi }
請問如何由 tan x + tan y + t a n z ′ = tan z ′ tan x tan y {\displaystyle \tan x+\tan y+tanz'=\tan z'\tan x\tan y} 與 tan x + tan y + t a n z = tan x tan y tan z {\displaystyle \tan x+\tan y+tanz=\tan x\tan y\tan z} ,得知 z = z ′ + m π {\displaystyle z=z'+m\pi } (m为整数)呢? 另外,「x, y其中至少一个角是锐角」未必能假設「x, y是某三角形的两个内角」吧?例如 x = 5 π 12 , y = 3 π 4 {\displaystyle x={\frac {5\pi }{12}},y={\frac {3\pi }{4}}} 時,x, y就不會是(歐幾里得幾何中)任何三角形的两个内角,因為爆表了。而且敝人懷疑考慮三角形的必要性(一定要考慮三角形嗎?)
tan x + tan y − tan ( x + y ) = − tan ( x + y ) tan x tan y {\displaystyle \tan x+\tan y-\tan(x+y)=-\tan(x+y)\tan x\tan y} tan x + tan y + tan z = tan x tan y tan z {\displaystyle \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z} 两式相减,得: tan z + tan ( x + y ) = [ tan z + tan ( x + y ) ] tan x tan y {\displaystyle \tan z+\tan(x+y)=[\tan z+\tan(x+y)]\tan x\tan y} 要使得等式成立,要么 tan z + tan ( x + y ) = 0 {\displaystyle \tan z+\tan(x+y)=0} ,即 tan z = − tan ( n π − z ) = − tan ( x + y ) {\displaystyle \tan z=-\tan(n\pi -z)=-\tan(x+y)} 即 n π − z = x + y {\displaystyle n\pi -z=x+y} ,即 n π = x + y + z {\displaystyle n\pi =x+y+z} 要么 tan x tan y = 1 {\displaystyle \tan x\tan y=1} ,这样 tan x + tan y + tan z = tan z {\displaystyle \tan x+\tan y+\tan z=\tan z} , tan x + tan y = 0 {\displaystyle \tan x+\tan y=0} ,然而,实数范围内找不到两个相乘得1,相加得0的数字,所以不存在 tan x tan y = 1 {\displaystyle \tan x\tan y=1} 的可能。
若 tan x + tan y + tan z = tan x tan y tan z , {\displaystyle \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z,} tan ( x + y + z ) = tan x + tan y + tan z − tan x tan y tan z 1 − tan x tan y − tan x tan z − tan y tan z = 0 {\displaystyle \tan(x+y+z)={\frac {\tan x+\tan y+\tan z-\tan x\tan y\tan z}{1-\tan x\tan y-\tan x\tan z-\tan y\tan z}}=0} 所以 x + y + z = n π {\displaystyle x+y+z=n\pi }