主理想环

在数学中，主理想环是使得每个理想均可由单个元素生成的环。

如果一个主理想环同时也是整环，则称之主理想整环（常简写为 PID）。

例子

• 整数环 $\mathbb {Z}$ 是主理想域，更一般地说，欧几里德环恒为主理想环。
• 域上的（单变元）多项式环是主理想环。
• 高斯整数环 $\mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]$ 是主理想环。
• 艾森斯坦整数环 $\mathbb {Z} [\omega ]$ 是主理想环，其中 ω 为任一非 $1$ 的三次单位根。
• 环 $\mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$ 非主理想环：可以证明理想 $(2,{\sqrt {5}})$ 无法由单个元素生成。