幸福结局问题

幸福结局问题（由保罗·埃尔德什命名，因为这个问题令乔治·塞凯赖什和爱丝特·克莱共谐连理）是问，在平面上，给定一般位置（即平面上任意三点不共线）上的多少点，才令其中必可以找到 $n$ 点能组成凸 $n$ 边形？

1935年，埃尔德什和塞凯赖什证明：给定任意正整数 $N$ ，存在正整数 $M$ 使得给定在平面上一般位置上的 $M$ 点，其中必可以找到 $N$ 点能组成凸 $N$ 边形。

将 $f(N)$ 表示为 $M$ 的最小可能值，已知

1961年，埃尔德什和塞凯赖什证明 $f(N)\geq 1+2^{N-2}$ ^[2]。

1998年，一连三篇关于对 $f(N)$ 的上界的文章被发表，其中最好的结果是由Tóth和Valtr找到的：

f(N)\leq {2n-5 \choose n-3}+2

2005年，他们进一步将此上界降低了1：

f(N)\leq {2n-5 \choose n-3}+1

2016年，Andrew Suk证明了：

f(N)\leq 2^{N+o(N)}

^[3]

参考

Erdős, P., Szekeres, G., A combinatorial problem in geometry, Compositio Math. 2 (1935), 463--470.
Erdős P., Szekeres G., On some extremum problems in elementary geometry, Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math. 3-4 (1961), 53–62. Reprinted in: Paul Erdős: The Art of Counting. Selected Writings (J. Spencer, ed.), pp. 680–689, MIT Press, Cambridge, MA, 1973.
Kalbfleisch J.D., Kalbfleisch J.G., Stanton R.G., A combinatorial problem on convex regions, Proc. Louisiana Conf. Combinatorics, Graph Theory and Computing, Louisiana State Univ., Baton Rouge, La, 1970. Congr. Numer. 1 (1970), 180-188.
Morris, W., and V. Soltan. 2000. The Erdös-Szekeres problem on points in convex position--A survey. Bulletin of the American Mathematical Society 37(October): 437.
Tóth G., Valtr P., Note on the Erdős-Szekeres theorem, Discrete Comput. Geom. 19 (1998), 457–459.

^ 证明：若这五点的凸包是四边形或五边形，则结果易见。若否，则凸包是三角形，其中两点在三角形内。连接这两点的直线，与三角形其中两边相交，则这两点与三角形第三边的两点组成凸四边形。
^ Erdős & Szekeres (1961)
^ Suk, Andrew, On the Erdős–Szekeres convex polygon problem, 2016, arXiv:1604.08657