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目前只知道3一個值

我大膽猜測：4以後不存在滿足上述關係的正整數。

因為用程序去尋找，直到我睡了都還沒找到...到後邊感覺是不大可能的了。

好問題

初步計算是可以找出一些關於x和p的性質的：

• p必然是奇數
• $p^{2}-1$ 必然可以被5和8所除盡
• ${\sqrt {5}}x<=p<=2{\sqrt {x^{4}-1}}$
• 如果x是奇數，p必然是形式為4k+3的奇數，且x也必然是形式為4m+3的奇數，且此時$p^{2}-1$ 不可被16所除盡；如果x是偶數，x是8的倍數

我倒是很好奇，是否有學術論文曾經探討過這個方程的？

另外對於每個這類的方程式，似乎都要獨立探討，這類的方程式沒有通用的解法。

其實這個問題有個直接的解法：利用一元四次方程式的求根公式對$x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1-p^{2}=0$ 求解，求出x的形式，之後再利用得出的結果來求出p的條件，不過感覺這樣的計算會很繁瑣。