反伽玛函数
Γ
−
1
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
的
函数图形 反伽玛函数
Γ
−
1
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
在
复数域 的
色相环复变函数图形 反伽玛函数
Γ
−
1
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
伽玛函数 （Γ函数）的反函数 。
换句话说，如果反Γ函数以
Γ
−
1
(
x
)
=
y
{\textstyle \Gamma ^{-1}(x)=y}
Γ
(
y
)
=
x
{\textstyle \Gamma (y)=x}
函数值 为5，
Γ
−
1
(
24
)
=
5
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(24)=5}
[ 1] 定义域 在实数 区间
[
β
,
+
∞
)
{\displaystyle \left[\beta ,+\infty \right)}
[
α
,
+
∞
)
{\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}
β
=
0.8856031
…
{\displaystyle \beta =0.8856031\ldots }
[ 2] 实轴 上的最小值、
α
=
Γ
−
1
(
β
)
=
1.4616321
…
{\displaystyle \alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots }
[ 3]
Γ
(
x
)
{\displaystyle \Gamma (x)}
x
{\displaystyle x}
[ 4] 阶乘 的关系来定义反阶乘 ，即阶乘的反函数。
限制在
[
α
,
+
∞
)
{\displaystyle \left[\alpha ,+\infty \right)}
Γ
−
1
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
Γ
n
−
1
(
z
)
{\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}
直接将伽玛函数取反函数将成为多值函数 ，因此通常会将反伽玛函数限制在特定区间上的反函数 由于反伽玛函数是伽玛函数的反函数 ，因此最简单的情况下可以表示为：
Γ
(
Γ
−
1
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \Gamma (\Gamma ^{-1}(x))=x}
更进一步的，反伽玛函数可以用如下积分 表达式来定义：[ 5]
Γ
−
1
(
x
)
=
a
+
b
x
+
∫
−
∞
Γ
(
α
)
(
1
x
−
t
−
t
t
2
−
1
)
d
μ
(
t
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)}
其中
∫
−
∞
Γ
(
α
)
(
1
t
2
+
1
)
d
μ
(
t
)
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty }
b
≧
0
{\displaystyle b\geqq 0}
实数 、
μ
(
t
)
{\displaystyle \mu (t)}
博雷尔测度 。
不同分支的反伽玛函数 反伽玛函数的分支可以透过先计算
Γ
−
1
(
x
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)}
α
{\displaystyle \alpha }
泰勒级数 ，接著截断级数并求其反函数来得到更好的近似值。
例如，可以写出关于反伽玛函数的二次近似[ 6]
Γ
−
1
(
x
)
≈
α
+
2
(
x
−
Γ
(
α
)
)
Ψ
(
1
,
α
)
Γ
(
α
)
.
{\displaystyle \Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}
反伽玛函数也有如下的渐近分析 形式：[ 7]
Γ
−
1
(
x
)
∼
1
2
+
ln
(
x
2
π
)
W
0
(
e
−
1
ln
(
x
2
π
)
)
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}}
其中
W
0
(
x
)
{\displaystyle W_{0}(x)}
朗伯W函数 。这个公式是利用史特灵公式 求逆得到的，因此也可以展开为渐近级数。
要计算反伽玛函数的级数展开可以先计算倒数伽玛函数
1
Γ
(
x
)
{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (x)}}}
在负整数极点附近的级数展开，然后再求级数的逆。
令
z
=
1
x
{\displaystyle z={\frac {1}{x}}}
n
{\displaystyle n}
Γ
n
−
1
(
z
)
{\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)}
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
[ 8]
Γ
n
−
1
(
z
)
=
−
n
+
(
−
1
)
n
n
!
z
+
ψ
(
0
)
(
n
+
1
)
(
n
!
z
)
2
+
(
−
1
)
n
(
π
2
+
9
ψ
(
0
)
(
n
+
1
)
2
−
3
ψ
(
1
)
(
n
+
1
)
)
6
(
n
!
z
)
3
+
O
(
1
z
4
)
{\displaystyle \Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)}
其中，
ψ
(
n
)
(
x
)
{\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}
多伽玛函数 。
反阶乘的复变函数图形 反阶乘是阶乘 的反函数 ，有时记为Factorial-1 或ArcFactorial[ 9] 函数值 可以透过反伽玛函数 或解伽玛函数方程来得到[ 10]
5
!
=
120
{\displaystyle 5!=120}
[ 注 1]
反伽玛函数与反阶乘的关系为：
Γ
−
1
(
n
)
=
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
+
1
{\displaystyle \Gamma ^{-1}(n)=\mathrm {ArcFactorial} (z)+1}
这是由于：
z
!
=
Γ
(
z
+
1
)
{\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}
反阶乘可以定义为：
(
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
)
!
=
z
{\displaystyle (\mathrm {ArcFactorial} (z))!=z}
条件是
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
在分支点
z
=
μ
0
{\displaystyle z=\mu _{0}}
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
=
ν
0
+
∑
n
=
1
N
−
1
d
n
⋅
(
log
(
z
/
μ
0
)
)
n
/
2
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} (z)=\nu _{0}+\sum _{n=1}^{N-1}d_{n}\cdot {\Big (}\log(z/\mu _{0}){\Big )}^{n/2}}
由于阶乘与伽玛函数之间的关联，反阶乘也可以透过反伽玛函数近似公式来估计：
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
z
)
≈
−
1
+
α
+
2
(
x
−
Γ
(
α
)
)
Ψ
(
1
,
α
)
Γ
(
α
)
.
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(z\right)\approx -1+\alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.}
因此，反阶乘也可以写成如下的渐近分析 形式：[ 7]
A
r
c
F
a
c
t
o
r
i
a
l
(
x
)
∼
ln
(
x
2
π
)
W
0
(
e
−
1
ln
(
x
2
π
)
)
−
1
2
{\displaystyle \mathrm {ArcFactorial} \left(x\right)\sim {\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}-{\frac {1}{2}}}
其中
W
0
(
x
)
{\displaystyle W_{0}(x)}
朗伯W函数 。
^ Borwein, Jonathan M.; Corless, Robert M. Gamma and Factorial in the Monthly. The American Mathematical Monthly. 2017, 125 (5): 400–424. JSTOR 48663320 S2CID 119324101 arXiv:1703.05349 doi:10.1080/00029890.2018.1420983 ^ A030171 ^ A030169 ^ Uchiyama, Mitsuru. The principal inverse of the gamma function . Proceedings of the American Mathematical Society. April 2012, 140 (4): 1347 [20 March 2023] . JSTOR 41505586 S2CID 85549521 doi:10.1090/S0002-9939-2011-11023-2 存档 于2023-03-20）. ^ Pedersen, Henrik. " Inverses of gamma functions" 7 (2): 251–267 [2023-08-21 ] . S2CID 253898042 arXiv:1309.2167 doi:10.1007/s00365-014-9239-1 存档 于2023-05-24）. ^ Corless, Robert M.; Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. Properties and Computation of the Functional Inverse of Gamma. 2017 19th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing (SYNASC). 2017: 65. ISBN 978-1-5386-2626-9S2CID 53287687 doi:10.1109/SYNASC.2017.00020 ^ 7.0 7.1 Amenyou, Folitse Komla; Jeffrey, David. "Properties and Computation of the inverse of the Gamma Function" (学位论文): 28. 2018 [2023-08-23 ] . （原始内容存档 于2022-05-09）. ^ Couto, Ana Carolina Camargos; Jeffrey, David; Corless, Robert. The Inverse Gamma Function and its Numerical Evaluation . Maple Conference Proceedings. November 2020. Section 8 [2023-08-23 ] . （原始内容存档 于2023-05-16）. ^ Kouznetsov, Dmitrii and Trappmann, Henryk. Superfunctions and sqrt of factorial. Moscow University Physics Bulletin. 2010-03, 65 : 6–12. doi:10.3103/S0027134910010029 ^ InverseFactorial . resources.wolframcloud.com. [2023-08-21 ] . （原始内容存档 于2023-08-21）.
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