射影线性群是代数学里群论中的一类群的称呼。射影线性群也叫射影一般线性群(一般记作 PGL),是某个系数域为
的向量空间V上的一般线性群在射影空间 P(V) 上诱导的群作用。具体来说,射影线性群是商群:
![{\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {GL}}(V)={\mathcal {GL}}(V){\bigg /}\mathbb {K} (V)}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15968deb0b2d701c68d7c6e32eeb5d927493c37)
其中的
是V上的一般线性群,而
是由V上的所有数乘变换构成的
的子群[1]。之所以在
中约去
,是因为它们在射影空间上的作用是平凡的(所以构成群作用的核)。
有时也被记作
,因为它是一般线性群的中心。
与射影线性群类似的还有射影特殊线性群,一般记作PSL。它的定义与射影线性群相似,只不过不是在一般线性群而是在特殊线性群上。
![{\displaystyle \mathbb {P} {\mathcal {SL}}(V)={\mathcal {SL}}(V){\bigg /}{\mathcal {SZ}}(V)}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb2ae1c7804eec4f7996c85311eae0f22cd85ca)
其中的
是V上的特殊线性群,而
是
在
中的子群(即行列式等于1的数乘变换构成的子群)[1]。显然
是
的中心。若
(n 维空间),则
同构于由n 次单位根构成的群。
射影线性群与射影特殊线性群都是群论和几何中最常研究的群,即所谓的“经典群”。射影线性群中的元素称为射影线性变换。
(n 维空间),那么这个射影线性群也记作
或
。
当且仅当
中每一个元素的n 次根都在
中,例如在
代数封闭(比如是复数域
)的时候,射影线性群与射影特殊线性群等同。
。但是系数域为实数的时候,就有
[2]。几何的解释是:实射影直线是有向的,而实射影特殊线性群只包括保持定向的变换。
射影线性群与射影特殊线性群也可以在环上定义,一个重要的例子是模群
。