谢尔宾斯基空间

在数学上，谢尔宾斯基空间（Sierpiński space，又称两点连通空间（connected two-point set））是一个包含两个元素的有限拓朴空间，其中只有一个元素是闭合的。^[1]这个空间是所有非密着且非离散的拓朴空间中最小的，而这空间以波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基的姓氏为名。

因为谢尔宾斯基空间在斯科特拓朴当中，是开集的分类空间（classifying space）之故，因此这集合在可计算性理论和语意处理上有重要的应用。^[2]^[3]

定义及基本性质

谢尔宾斯基空间 $S$ 是一个其点集合为 $\{0,1\}$ 的拓朴空间，其所有的开集如下：

\{\varnothing ,\{1\},\{0,1\}\}.

其所有的闭集如下：

\{\varnothing ,\{0\},\{0,1\}\}.

也就是说，其单点集 $\{0\}$ 是闭集，而其单点集 $\{1\}$ 是开集，另外此处的 $\varnothing$ 代表空集合。

此空间的闭包如下：

{\overline {\{0\}}}=\{0\},\qquad {\overline {\{1\}}}=\{0,1\}.

一个有限的拓朴空间亦可由其特殊化预序唯一定义，当中，这预序是一个偏序，其形式如下：

0\leq 0,\qquad 0\leq 1,\qquad 1\leq 1.

拓朴性质

谢尔宾斯基空间 $S$ 是特定点拓朴（particular point topology）（谢尔宾斯基空间的特定点为1）和排除点拓朴（excluded point topology）（谢尔宾斯基空间的排除点为0）的一个特殊例子，因此谢尔宾斯基空间和这两类拓朴空间有许多共通之处。

分离性

在谢尔宾斯基空间中，0和1这两点是拓扑可区分的，这是因为 $\{1\}$ 是一个只包含这两者其中一点的开集之故，因此谢尔宾斯基空间是一个柯尔莫果洛夫空间（ $T_{0}$ 空间）。
然而谢尔宾斯基空间不是一个 $T_{1}$ 空间，这是因为 $\{1\}$ 这个单点集不是闭集之故，也因此谢尔宾斯基空间不是豪斯多夫空间或 $T_{n}$ 空间（其中 $n\geq 1$ ）。
然而谢尔宾斯基空间不是正则空间或完全正则空间，这是因为1这个点及其不相交集合 $\{0\}$ 不能以邻域分离之故（另外点能以邻域分离的 $T_{0}$ 空间是豪斯多夫空间）。
然而谢尔宾斯基空间可视为正规空间和完全正规空间，这是因为这空间中没有非空的分离集合所致。
然而谢尔宾斯基空间不是完美正规空间，这是因为其彼此不相交的闭合 $\varnothing$ 和 $\{0\}$ 无法由函数完全分离所致。事实上，谢尔宾斯基空间的 $\{0\}$ 不能是任何连续函数 $S\to R$ 的零集（zero set），而这是因为任何这样的连续函数都是常函数所致。

连通性

谢尔宾斯基空间同时是个超连通空间（Hyperconnected space）（这是因为其所有的非空开集都包含1所致）和特连通空间（Ultraconnected space）（这是因为其所有的非空闭集都包含0所致）。
谢尔宾斯基空间是个连通空间和道路连通空间。
一条连通谢尔宾斯基空间当中的0和1的道路 $f:I\to S$ 可定义如次： $f(0)=0$ 且对于所有的 $t>0$ 而言 $f(t)=1$ ，这个函数是连续的，因为 $f^{-1}(1)=(0,1]$ 在 $I$ 是开集。
和所有的有限拓朴空间一样，谢尔宾斯基空间是个局部道路连通空间。
谢尔宾斯基空间是个可压缩空间（contractible space），因此其基本群是个当然群（这点对高阶同伦群（higher homotopy groups）也成立）。

紧致性

和所有有限拓朴空间一样，谢尔宾斯基空间是个紧致空间和第二可数空间。
谢尔宾斯基空间的紧子集 $\{1\}$ 不是闭集，而这显示了 $T_{0}$ 空间的紧集不必然是闭集。
任何谢尔宾斯基空间的开覆盖都必然包含谢尔宾斯基空间本身，这是因为谢尔宾斯基空间为0的唯一的开邻域之故，因此任何的谢尔宾斯基空间的开覆盖都有包含一个集合的子覆盖，就是 $\{S\}$ 。
而这表示说谢尔宾斯基空间是个满正规空间（fully normal space，仿紧空间的一个子类）。^[4]

收敛性

任何谢尔宾斯基空间当中的序列都收敛至0，这是因为在谢尔宾斯基空间当中，0唯一的邻域是谢尔宾斯基空间本身。
在谢尔宾斯基空间当中一个序列收敛至1，当且仅当该序列仅有有限多项为0。
在谢尔宾斯基空间当中，1是某序列的一个聚集点，当且仅当该序列包含无限多项的1。
例子如下：
- 1不是 $(0,0,0,0,...)$ 这序列的聚集点。
- 1是 $(0,1,0,1,0,1,...)$ 这序列的聚集点1，但并非极限点。
- $(1,1,1,1,...)$ 这序列同时收敛至0和1。

度量化可能性

谢尔宾斯基空间不是可度量化的空间，甚至也不是可伪度量化的空间，这是因为任何伪度量化的空间都必须是完全正则空间，而谢尔宾斯基空间就连正则空间都不是之故。
谢尔宾斯基空间可由伪拟度量生成，其中 $d(0,1)=0$ 且 $d(1,0)=1$ 。

其他性质

谢尔宾斯基空间只有三个映至自身的连续函数：恒等函数、两个分别映至0和1的常函数。
而这表示说谢尔宾斯基空间的同胚群（英语：homeomorphism group）是当然群。

映至谢尔宾斯基空间的连续函数

设 $X$ 是一个任意集合，那么一般会将所有从 $X$ 映至 $\{0,1\}$ 的函数的集合给记做 $2^{X}$ ，这些函数即是 $X$ 的指示函数，所有的指示函数都有如下的形式：

\chi _{U}(x)={\begin{cases}1&x\in U\\0&x\not \in U\end{cases}}

在其中 $U$ 是 $X$ 的一个子集。换句话说 $2^{X}$ 这个函数的集合和 $X$ 的幂集 $P(X)$ 间，有著双射的关系。每个 $X$ 的子集 $U$ 都有自己的指示函数 $\chi _{U}$ ，而每个从 $X$ 映至 $\{0,1\}$ 的函数都有如此的形式。

现在假定 $X$ 是个拓朴空间，而 $\{0,1\}$ 有著谢尔宾斯基拓朴，那么 $\chi _{U}:X\to S$ 是个连续函数，当且仅当 $\chi _{U}^{-1}(U):X\to S$ 在 $X$ 中是个开集；然而根据定义，我们有

\chi _{U}^{-1}(1)=U.

因此 $\chi _{U}$ 是个连续函数，当且仅当 $U$ 在 $X$ 中是个开集。

假定 $C(X,S)$ 是所有从 $X$ 映至 $S$ 的连续函数的集合，并假定 $T(X)$ 是 $X$ 的拓朴（也就是所有开集的集族），那么就存在一个从 $T(X)$ 映至 $C(X,S)$ 的双射，这映射会将 $U$ 映至 $\chi _{U}$ 之上。

C(X,S)\cong {\mathcal {T}}(X)

也就是说，假若将 $2^{X}$ 和 $P(X)$ 对等，那么其连续映射的子集 $C(X,S)\subset 2^{X}$ 会是 $T(X)\subset P(X)$ 的拓朴。

一个特别值得注意的例子是在对偏序集合的斯科特拓朴中，谢尔宾斯基空间会在指示函数保持定向连接（directed join）的状况下，成为其开集的分类空间。^[5]

范畴论的描述

上述的结构可以用范畴论的语言很好地表达。有个从拓扑空间范畴到集合范畴的反变函子 $T:Top\to Set$ 将每个拓朴空间 $X$ 给指派给其开集的集合 $T(X)$ ，并将每个连续函数 $f:X\to Y$ 给指派给其原像：

f^{-1}:{\mathcal {T}}(Y)\to {\mathcal {T}}(X).

而相关叙述如下： $T$ 这个函子由 $(S,\{1\})$ 表示，其中 $S$ 为谢尔宾斯基空间，也就是说， $T$ 和同态函子（Hom functor） $Hom(-,S)$ 间有著自然同构，而这自然同构由泛元素 $\{1\}\in T(S)$ 决定，而这可由预层的概念一般化。^[6]

初拓扑

任何的拓朴空间 $X$ 都有由映至谢尔宾斯基空间的连续函数的集族 $C(X,S)$ 所引致的初拓扑。事实上，若要将 $X$ 的拓朴变得更加粗糙，那就必须将一些开集给移除；然而若将开集 $U$ 给移除，那么 $\chi _{U}$ 这个函数就会变得不连续，因此在 $C(X,S)$ 当中的每个函数都连续的情况下， $X$ 有著最粗糙的拓朴。

函数的集族 $C(X,S)$ 区分 $X$ 上的点，当且仅当 $X$ 是个 $T_{0}$ 空间。 $x$ 和 $y$ 这两点可由指示函数 $\chi _{U}$ 区分，当且仅当开集 $U$ 包含其中一点但不同时包含两者。这也就是 $x$ 和 $y$ 拓朴可区分的确实含意。

也就是说，若 $X$ 是个 $T_{0}$ 空间，那就可以将 $X$ 给嵌入谢尔宾斯基空间的积空间中，在其中对于每个 $X$ 的开集 $U$ 而言，都有一个 $S$ 的复本与之对应。其嵌入函数

e:X\to \prod _{U\in {\mathcal {T}}(X)}S=S^{{\mathcal {T}}(X)}

可由下列函数得出：

e(x)_{U}=\chi _{U}(x).\,

由于 $T_{0}$ 空间的子空间和积空间还是 $T_{0}$ 空间之故，因此一个拓朴空间是 $T_{0}$ 空间，当且仅当其与谢尔宾斯基空间的积空间的某个子空间同胚。

在代数几何中

在代数几何中，谢尔宾斯基空间会作为 $\mathbb {Z} _{p}$ （整数在质数 $p$ 生成的素理想上的局部化）之类的离散赋值环（Discrete valuation ring） $R$ 的谱 $Spec(R)$ 出现。其中 $Spec(R)$ 起自零理想的一般点（generic point）会对应至开集点1；而 $Spec(R)$ 起自极大理想的特殊点（special point）会对应至闭集点0。

参见

有限拓朴空间（Finite topological space）
拓朴列表（List of topologies）
伪圆（Pseudocircle）

注解

^ nLab的Sierpinski space条目
^ 一篇网路文章解释了为何拓朴学可用在电脑科学中对“概念”的研究之上，详情可见Alex Simpson的《Mathematical Structures for Semantics （页面存档备份，存于互联网档案馆）》一文的第三章《Topological Spaces from a Computational Perspective （页面存档备份，存于互联网档案馆）》，其中的“参照”一节提供了许多网路上关于域理论的文章。
^ Escardó, Martín. Synthetic topology of data types and classical spaces. Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87. Elsevier. 2004.
^ Steen和Seebach二氏错误地认为谢尔宾斯基空间不是满正规空间（或以其术语来说，不是满 $T_{4}$ 空间）。
^ nLab的Scott topology条目
^ Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102

参考

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
Michael Tiefenback (1977) "Topological Genealogy", Mathematics Magazine 50(3): 158–60 doi:10.2307/2689505

[1] nLab的Sierpinski space条目

[2] 一篇网路文章解释了为何拓朴学可用在电脑科学中对“概念”的研究之上，详情可见Alex Simpson的《Mathematical Structures for Semantics （页面存档备份，存于互联网档案馆）》一文的第三章《Topological Spaces from a Computational Perspective （页面存档备份，存于互联网档案馆）》，其中的“参照”一节提供了许多网路上关于域理论的文章。

[3] Escardó, Martín. Synthetic topology of data types and classical spaces. Electronic Notes in Theoretical Computer Science 87. Elsevier. 2004.

[4] Steen和Seebach二氏错误地认为谢尔宾斯基空间不是满正规空间（或以其术语来说，不是满 $T_{4}$ 空间）。

[5] nLab的Scott topology条目

[6] Saunders MacLane, Ieke Moerdijk, Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, (1992) Springer-Verlag Universitext ISBN 978-0387977102

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