關係範疇

關係範疇Rel.

Rel的反範疇Rel^op.

在數學上，關係範疇（記做Rel）指的是以集合為物件、以二元關係為態射的範疇。

在這個範疇中，其態射$R:A\longrightarrow B$是$A$與$B$之間的關係，因此$R\subseteq A\times B$

這範疇中兩個關係$R:A\longrightarrow B$及$S:C\longrightarrow D$的合成由下式給出：

$(a,c)\in S\circ R$，若且唯若對於一些$b\in B$而言，$(a,b)\in R$且$(b,c)\in S$

關係範疇又被一些人稱為「集合間對應的範疇」（category of correspondences of sets）。

性質

集合範疇是關係範疇的（寬）子範疇，其中集合範疇的態射$f:X\longrightarrow Y$對應至以$(x,y)\in F\iff f(x)=y$定義的關係$F\subseteq X\times Y$。

關係範疇中的態射為關係，而其相對應的、從其反範疇映至關係範疇的態射有著反向的箭頭，因此這態射是個逆關係，因此關係範疇包含其反範疇且是個自雙對。

由逆關係作代表所建構的對合為關係範疇提供了一個短劍結構，因此關係範疇是一個短劍範疇。

關係範疇有兩個做為同態函子並映至自己的函子，其中一個是二元關係$R\subseteq A\times B$，另一個則是其轉置$R^{T}\subseteq B\times A$，而這兩個二元關係的兩種合成關係分別為$RR^{T}$及$R^{T}R$，其中第一個合成關係$RR^{T}$給出了A上的齊次關係；而第二個合成關係$R^{T}R$則給出B上的齊次關係。由於這些函子是映至關係範疇自身的同態函子之故，因此這些同態函子是內部同態函子；而由於這些內部同態函子之故，因此關係範疇是個閉範疇，且是個短劍緊緻範疇。

關係範疇可以克萊斯利範疇的形式，由集合範疇得到，在這種狀況下，其有著以對應至冪集的函子為協變函子的單子。

一個第一眼看上去可能令人有點驚訝的事實是，關係範疇當中的乘法是以不相交聯集（而非如集合範疇一般的笛卡爾積）定義的，而其餘積亦然。

就其幺半乘積$A\otimes B$與內部同態函子$A\implies B$而言，關係範疇是個閉幺半範疇。

關係範疇是Peter J. Freyd與Andre Scedrov在1990年給出的代數結構寓範疇的原型，他們自正則範疇與$F:A\longrightarrow B$出發，他們注意到了派生函子$Rel(A,B)\longrightarrow Rel(FA,FB)$的性質，像例如說這函子保存了合成、逆轉跟相交等運算，而他們之後以這樣的性質建構了寓範疇的公理。

關係作為物件

David Rydeheard與Rod Burstall認為關係範疇有著作為齊次關係物件，一個例子是$A$是一個集合而$R\subseteq A\times A$是一個二元關係；而這個範疇的態射是集合間保持關係的函數，在$S\subseteq B\times B$是第二個關係且$f:A\longrightarrow B$是一個使得$xRy\implies f(x)Sf(y),$成立的函數，那$f$是一個態射。

Adamek、Herrlich與Strecker三氏進一步發展了這想法，他們將物件$(A,R)$與$(B,S)$給設成（集合，關係）。

參考資料

• Francis Borceux. Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures. Cambridge University Press. 1994: 115 [2022-07-14]. ISBN 978-0-521-44179-7. （原始內容存檔於2022-07-14）.