擁有不同範數的單位圓
範數(英語:Norm),是具有「長度」概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領域,是一個函數,其為向量空間內的所有向量賦予非零的正長度或大小。另一方面,半範數(英語:seminorm)可以為非零的向量賦予零長度。
舉一個簡單的例子,一個二維度的歐幾里得空間
就有歐氏範數。在這個向量空間的元素(譬如:(3,7))常常在笛卡爾座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。
擁有範數的向量空間就是賦範向量空間。同樣,擁有半範數的向量空間就是賦半範向量空間。
假設V是域F上的向量空間;V的半範數是一個函數
,滿足:
,
(具有半正定性)
(具有絕對一次齊次性)
(滿足三角不等式,或稱次可加性)
範數是一個半範數加上額外性質:
- 4.
,當且僅當
是零向量(正定性)
如果拓撲向量空間的拓撲可以被範數導出,這個拓撲向量空間被稱為賦範向量空間。
- 所有範數都是半範數。
- 平凡半範數,即
。
- 絕對值是實數集上的一個範數。
- 對向量空間上的次線性型f可定義一個半範數:
。
絕對值範數為
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|=\sum _{i}^{n}|x_{i}|}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/350f40f5229ae8d0e888f6ada86f7009e588aef0)
是在由實數或虛數構成的一維向量空間中的範數。
絕對值範數是曼哈頓範數的特殊形式。
在n維歐幾里德空間
上,向量
的最符合直覺的長度由以下公式給出
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/50aa64b52c9ebd19d47552eae57ec4a05cf43e67)
根據畢氏定理,它給出了從原點到點
之間的(通常意義下的)距離。歐幾里德範數是
上最常用的範數,但正如下面舉出的,
上也可以定義其他的範數。然而,以下定義的範數都定義了同一個拓撲結構,因此它們在某種意義上都是等價的。
在一個n維複數空間
中,最常見的範數是:
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/44df636089a87ee8c7108d0d8496c5584d607686)
以上兩者又可以以向量與其自身的內積的平方根表示:
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}},}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e47e02de78cef4d765a9559720cbd934fbeb4f0)
其中x是一個列向量(
),而
表示其共軛轉置。
以上公式適用於任何內積空間,包括歐式空間和複空間。在歐幾里得空間裏,內積等價於點積,因此公式可以寫成以下形式:
![{\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}](https://wikimedia.org/zhwiki/api/rest_v1/media/math/render/svg/baae89166bf0be5fd7d3fc717410e17732f05ef5)
特別地,
中所有的歐幾里得範數為同一個給定正實數的向量的集合是一個n維球面。
如果將複數平面看作歐幾里得平面
,那麼複數的歐幾里得範數是其絕對值(又稱為模)。這樣,我們可把
視為歐幾里得平面上的一個向量,由此,這個向量的歐幾里得範數即為
(最初由歐拉提出)。
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