Elias gamma編碼

以利亞加瑪碼（Elias gamma code）是一種用於正整數之通用編碼。該碼由Peter Elias發明。此編碼常被用於無法事先得知上界之正整數。

編碼

對於待編碼正整數 X≥1：

1. 令 N=⌊log₂ X⌋ ，故 2^N ≤ X < 2^N+1
2. 輸出 N 個零位元
3. 接着輸出 X 的二進位表示。

另一個等價的編碼方式為：

1. 輸出 N 的一進位表示
2. 將餘下的 N 個位元接在上述之後。

要對 $x$ 進行編碼，以利亞戴爾達碼必須使用 $2\lfloor \log _{2}(x)\rfloor +1$ 個位元。

以下為一編碼對照表：

數	二進位表示	加瑪編碼	代表之概率
1 = 20 + 0	1	1	1/2
2 = 21 + 0	1 0	0 1 0	1/8
3 = 21 + 1	1 1	0 1 1	1/8
4 = 22 + 0	1 00	00 1 00	1/32
5 = 22 + 1	1 01	00 1 01	1/32
6 = 22 + 2	1 10	00 1 10	1/32
7 = 22 + 3	1 11	00 1 11	1/32
8 = 23 + 0	1 000	000 1 000	1/128
9 = 23 + 1	1 001	000 1 001	1/128
10 = 23 + 2	1 010	000 1 010	1/128
11 = 23 + 3	1 011	000 1 011	1/128
12 = 23 + 4	1 100	000 1 100	1/128
13 = 23 + 5	1 101	000 1 101	1/128
14 = 23 + 6	1 110	000 1 110	1/128
15 = 23 + 7	1 111	000 1 111	1/128
16 = 24 + 0	1 0000	0000 1 0000	1/512
17 = 24 + 1	1 0001	0000 1 0001	1/512

解碼

以利亞加瑪碼之解碼遵循下列步驟：

1. 讀取並計數零位元直到第一個一位元出現，假設共有 N 個零位元出現
2. 從第一個一位元之後，再讀取 N 個位元，並將之還原成十進位正整數，令之為 M
3. 最終解碼為 2^N+M

用途

以利亞加瑪碼最常見之用途為待編數之上界未知時，或是壓縮小數值較大數值頻繁之資料。以利亞加瑪碼可做為以利亞戴爾達碼之一部分。

一般化

以利亞加瑪碼並不適用於零或負整數。一個一般化的方式是在最左側先加一個一位元，解碼時再行扣掉。另一個方法是在編碼前將所有整數對映至正整數，例如：(0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ...) 對應至 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...)。

參考項目

• Elias, Peter (March 1975). "Universal codeword sets and representations of the integers". IEEE Transactions on Information Theory 21 (2): 194–203.
• Classical and Quantum Information Theory: An Introduction for the Telecom ...（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• A Concise Introduction to Data Compression（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Data Compression: The Complete Reference（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）