圣彼得堡悖论

圣彼得堡悖论（St. Petersburg paradox）是决策论中的一个悖论，由尼古拉一世·伯努利提出。1738年，丹尼尔·伯努利以效用理论来解答这个问题，因此形成预期效用理论。

问题内容

1730年代，数学家丹尼尔·伯努利的堂兄尼古拉一世·伯努利，在致法国数学家皮耶·黑蒙·德蒙马特的信件中，提出一个问题：

有一个“掷硬币掷到正面为止”的赌局，第一次掷出正面，就给你1元。第一次掷出反面，那就要再掷一次，若第二次掷的是正面，你便赚2元。若第二次掷出反面，那就要掷第三次，若第三次掷的是正面，你便赚2*2元……如此类推，一直掷到正面为止。你可能掷一次，赌局便结束，也可能反复一直掷，掷个没完没了。问题是，你最多肯付多少钱参加这个赌局？

圣彼得堡游戏

你最多肯付的钱应等于该游戏的期望：

$E={\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{4}}\cdot 2+{\frac {1}{8}}\cdot 4+{\frac {1}{16}}\cdot 8+\cdots$

$={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots$

$=\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over 2}=\infty$

这个赌局的期望是无限大，即你最多肯付出无限的金钱去参加这个游戏。但是，你更可能只赚到1元，或者2元，或者4元等，而不可能赚到无限的金钱。那你为什么肯付出无限的金钱参加赌局呢？

如果限定最多可以掷100次（100次都是反面，就不给你钱了），则期望为50元，但是一般人都不愿意真的付50元去参加这个赌局。

实验的论文解释

丹尼尔·伯努利在1738年的论文里，对这个悖论提出了解答，他以效用的概念，来挑战以金额期望为决策标准，论文主要包括两条原理：

1. 边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。
2. 最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。

参见

• 效用
• 阿莱悖论
• 艾尔斯伯格悖论