埃伦费斯特定理

保罗·埃伦费斯特。

在量子力学里，埃伦费斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值对于时间的导数，跟这量子算符与哈密顿算符的对易算符，两者之间的关系，以方程表达为

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle$；

其中，$A$ 是某个量子算符，$\langle A\rangle$ 是它的期望值，$H$ 是哈密顿算符，$t$ 是时间，$\hbar$ 是约化普朗克常数。

埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维尔定理密切相关；刘维尔定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特定理的对易算符。实际上，从根据经验法则，将对易算符换为泊松括号乘以 $i\hbar$ ，再取 $i\hbar$ 趋向于 0 的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。

薛定谔绘景下的推导

假设，一个物理系统的量子态为 $\Phi (x,\ t)$ ，则算符 $A$ 的期望值对于时间的导数为

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx\\\end{aligned}}$

薛定谔方程表明哈密顿算符 $H$ 与时间 $t$ 的关系为

$H\Phi =i\hbar {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}$ 。

其共轭为

$(H\Phi )^{*}=-i\hbar {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}$ 。

因为哈密顿算符是厄米算符，$H^{*}=H$ ，所以，

$(H\Phi )^{*}=\Phi ^{*}H^{*}=\Phi ^{*}H$ 。

将这三个方程代入 ${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle$ 的方程，则可得到

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle$ 。

所以，埃伦费斯特定理成立：

${\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle$ 。

有时算符 $A$ 不随时间变化，则 $\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle$ 等于零。

海森堡绘景下的推导

海森堡绘景下的推导更为直接。有海森堡运动方程

${\frac {\partial }{\partial t}}A={\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A,H]$

直接取等式两边的算子的期望值可得

$\left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle$

等式左边的态矢量不含时，因此可以把 ${\frac {d}{dt}}$ 一项移到狄拉克符号外，因此有

${\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle$

实例

使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。

从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。

守恒的哈密顿量

考虑哈密顿算符 $H$ ：

${\frac {d}{dt}}\langle H\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial H}{\partial t}}\right\rangle$ 。

假若，哈密顿量显性地不含时间，${\frac {\partial H}{\partial t}}=0$ ，则

$\langle H\rangle =H_{0}$ ，

哈密顿量是个常数$H_{0}$ 。

位置的期望值对于时间的导数

试想一个质量为 $m$ 的粒子，移动于一维空间．其哈密顿量是

$H(x,\ p,\ t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,\ t)$ ;

其中，$x$ 为位置，$p$ 是动量，$V$ 是位势。

应用埃伦费斯特定理，

${\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,\ H]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle [x,\ p^{2}]\rangle ={\frac {1}{i2m\hbar }}\langle xpp-ppx\rangle$。

由于 $xpp-ppx=i2\hbar p$ ，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：

${\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle =\langle v\rangle$。

这样，可以得到动量 $p$ 的期望值。

动量的期望值对于时间的导数

应用埃伦费斯特定理，

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle$ 。

由于 $p$ 与自己互相交换，所以，$[p,\ p^{2}]=0$ 。又在坐标空间里，动量算符 $p={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}$ 不含时间：${\frac {\partial p}{\partial t}}=0$ 。所以，

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,\ V]\rangle$ 。

将泊松括号展开，

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V{\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(V\Phi \right)~dx$ 。

使用乘法定则，

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\left\langle -\ {\frac {\partial }{\partial x}}V\right\rangle =\langle F\rangle$ 。

在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力 $F$ 的期望值。

经典极限

取经典极限，$\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}$ ，则可得到一组完全的量子运动方程：

${\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle v\rangle$ ，

${\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\ {\frac {\partial V(\langle x\rangle )}{\partial \langle x\rangle }}$ 。

这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：

${\frac {dx}{dt}}=v$ ，

${\frac {dp}{dt}}=-\ {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}$ 。

取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记 $V\,'(x)$ 为 ${\frac {\partial V(x)}{\partial x}}$ 。设定 $\langle x\rangle =x_{0}$ 。泰勒展开 $V\,'(x)$ 于 $x_{0}$ ：

$V\,'(x)=V\,'(x_{0})+(x-x_{0})V\,''(x_{0})+{\frac {1}{2}}(x-x_{0})^{2}V\,'''(x_{0})+\ \dots$ 。

由于 $\langle x-x_{0}\rangle =0$ ，$\langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\sigma _{x}^{2}$ ，

$\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle \approx V\,'(x_{0})+{\frac {1}{2}}\ \sigma _{x}^{2}\ V\,''(x_{0})$ 。

这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：

1. 一个是量子态对于位置的不可确定性。
2. 另一个则是位势随着位置而变化的快缓。

参阅

• 维里定理