斯特拉托諾維奇積分

在隨機過程中，斯特拉托諾維奇積分或菲斯克-斯特拉托諾維奇積分是一種隨機積分，冠名於同時發展出該技術的魯斯蘭·斯特拉托諾維奇和唐納德·菲斯克。它是伊藤積分最常見的替代品。應用數學中通常選擇伊藤積分，而物理學中則頻繁使用斯特拉托諾維奇積分。

在某些場景下，斯特拉托諾維奇積分更易於操作。斯特拉托諾維奇積分的定義使其滿足鏈式法則，而伊藤積分則並非如此。

遇到斯特拉托諾維奇積分的一類主要場景是斯特拉托諾維奇隨機微分方程(SDE)的解。其與伊藤隨機微分方程是等價的，並且可以根據何種更為方便而在兩種定義之間進行切換。

定義

斯特拉托諾維奇積分可以用類似於黎曼積分的方式（黎曼和的極限）來定義。設 $W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ 是一個維納過程， $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ 是適應於維納過程的自然濾過 (概率論)的一個半鞅。

類似黎曼-斯蒂爾傑斯積分中的策略，我們考慮區間 $[0,T]$ 的一個分割 $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T$ ，對於每個這樣的分割都可定義下列和式

$$\sum _{i=0}^{k-1}{X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}} \over 2}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right),$$

隨著區間分割的精細化，該和式可均方收斂於一個 $\Omega \to \mathbb {R}$ 的隨機變量，稱為 $X$ 關於 $W$ 在 $[0,T]$ 上的斯特拉托諾維奇積分，記作

$$\int _{0}^{T}X_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}.$$

計算

普通微積分的許多積分技術都可用於斯特拉托諾維奇積分，例如：設 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 是一個光滑函數，那麼

$\int _{0}^{T}f'(W_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}=f(W_{T})-f(W_{0})$

更一般地，對於光滑函數 $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 有

$\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial t}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T},T)-f(W_{0},0).$

後一條規則類似於普通微積分的鏈式法則。

數值方法

隨機積分很少能以解析形式求解，這使得隨機數值積分成為隨機積分的各種運用中的一個重要話題。有各種各樣的數值近似都收斂到斯特拉托諾維奇積分；它們的變體用於求解斯特拉托諾維奇隨機微分方程(Kloeden & Platen 1992) 。但注意，求解朗之萬方程的數值解時最為廣泛使用的歐拉-丸山方法要求方程為伊藤形式。

微分記號

若有隨機過程 $X_{t},Y_{t},Z_{t}$ 滿足

$$\forall T>0,\quad X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d} t,$$

可以寫出如下的式子

$$\mathrm {d} X=Y\circ \mathrm {d} W+Z\,\mathrm {d} t.$$

這種記號通常用於表述隨機微分方程，它們實際上是關於隨機積分的方程。它兼容於普通微積分的符號，例如

$$\mathrm {d} (t^{2}\,W^{3})=3t^{2}W^{2}\circ \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.$$

與伊藤積分的比較

隨機過程 $X$ 關於維納過程 $W$ 的伊藤積分記作$$\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}$$ （不帶圓圈）。在定義它時，用的是和上文中定義斯特拉托諾維奇積分時相同的步驟，只不過是在每個子區間的左端點取 $X$ 的值，也就是說

以 $X_{t_{i}}$ 取代 $(X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}})/2$

與斯特拉托諾維奇積分不同，該積分不遵循普通的鏈式法則，而是須改用稍複雜些的伊藤引理。

用以下公式便可在伊藤積分和斯特拉托諾維奇積分之間的進行轉換

$\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},$

其中 $f$ 可以是任意的二元連續可微函數，後一個積分是伊藤積分(Kloeden & Platen 1992，第101頁)。

指明問題是斯特拉托諾維奇還是伊藤表述的重要性可從朗之萬方程的例子看出。假定 $X_{t}$ 是一個時間均勻伊藤擴散，其擴散係數 $\sigma$ 連續可微，也就是說 $X_{t}$ 滿足隨機微分方程 $\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}$ 。為了得到該方程的斯特拉托諾維奇版本，項 $\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}$ 應當用 $\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}$ 表達出來：

$\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\sigma '(X_{t})\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}.$

顯然，若 $\sigma$ 是一個常函數（ $\sigma (X_{t})$ 獨立於 $X_{t}$ ），朗之萬方程的兩種表述將給出相同的形式。在這種情況下，噪聲項被稱為是「加性」的（因為乘在噪聲項 $dW_{t}$ 上的僅是一個固定係數）。否則，伊藤形式的朗之萬方程通常可能與斯特拉托諾維奇形式的朗之萬方程不同，後者的噪聲項稱為乘性的（即，噪聲項中的 $dW_{t}$ 乘上了一個$X_{t}$ 的函數 $\sigma (X_{t})$ ）。

更一般地，對於任何兩個半鞅 $X$ 和 $Y$

$\int _{0}^{T}X_{s-}\circ \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d} Y_{s}+{\frac {1}{2}}[X,Y]_{T}^{c},$

其中 $[X,Y]_{T}^{c}$ 是協變差的連續部分。

斯特拉托諾維奇積分的應用

伊藤積分有一項重要性質：不涉及未來的信息。而斯特拉托諾維奇積分則不是這樣。在現實世界的許多應用中（如股票價格建模），人們僅擁有有關過去事件的信息，因此伊藤表述更為自然。在金融數學中通常使用伊藤表述。

然而，在物理學中，隨機積分是作為朗之萬方程的解出現的。朗之萬方程是更微觀模型(Risken 1996)粗粒度版本；關於斯特拉托諾維奇或伊藤表述乃至其他更奇特的解釋（例如等溫表述）何者更為合適，要看所考慮的問題是什麼。物理科學中最常用的是斯特拉托諾維奇表述。

由於斯特拉托諾維奇微積分滿足常規的鏈式法則，斯特拉托諾維奇表述的隨機微分方程可以更直接地定義在可微流形上（而不僅是在 $\mathbb {R} ^{n}$ 上）。伊藤微積分的複雜鏈式法則則對於微分流形而言更為尷尬。

參考資料

• Øksendal, Bernt K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin. 2003. ISBN 3-540-04758-1. 
• Gardiner, Crispin W. Handbook of Stochastic Methods 3. Springer, Berlin Heidelberg. 2004. ISBN 3-540-20882-8. 
• Jarrow, Robert; Protter, Philip. A short history of stochastic integration and mathematical finance: The early years, 1880–1970. IMS Lecture Notes Monograph. 2004, 45: 1–17. CiteSeerX 10.1.1.114.632 . 
• Kloeden, Peter E.; Platen, Eckhard. Numerical solution of stochastic differential equations. Applications of Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag. 1992. ISBN 978-3-540-54062-5. 
• Risken, Hannes. The Fokker-Planck Equation. Springer Series in Synergetics. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. 1996. ISBN 978-3-540-61530-9. .