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核密度估計 （英語：Kernel density estimation ，縮寫 ：KDE ）是在概率論 中用來估計未知的密度函數 ，屬於非參數檢驗方法 之一，由Rosenblatt (1955)和Emanuel Parzen (1962)提出，又名Parzen窗 （Parzen window）。Ruppert和Cline基於數據集密度函數聚類算法提出修訂的核密度估計方法。
100個常態分佈 的亂數 的核密度估計 核密度估計在估計邊界區域的時候會出現邊界效應 。
在單變量核密度估計的基礎上，可以建立風險價值 的預測模型。通過對核密度估計變異係數的加權處理，可以建立不同的風險價值的預測模型。
一些比較常用的核函數是：
均勻核函數
k
(
x
)
=
1
2
,
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle k(x)={\frac {1}{2}},\;-1\leq x\leq 1}
h
{\displaystyle h}
k
h
(
x
)
=
1
2
h
,
−
h
≤
x
≤
h
{\displaystyle k_{h}(x)={\frac {1}{2h}},\;-h\leq x\leq h}
三角核函數
k
(
x
)
=
1
−
|
x
|
,
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle k(x)=1-|x|,\;-1\leq x\leq 1}
h
{\displaystyle h}
k
h
(
x
)
=
(
h
−
|
x
|
)
h
2
,
−
h
≤
x
≤
h
{\displaystyle k_{h}(x)={\frac {(h-|x|)}{h^{2}}},\;-h\leq x\leq h}
伽馬核函數
k
x
i
(
x
)
=
x
(
α
−
1
)
exp
(
−
x
α
/
x
i
)
(
x
i
/
α
)
α
Γ
(
α
)
{\displaystyle k_{x_{i}}(x)={\frac {x^{(\alpha -1)}\exp {(-x\alpha /x_{i})}}{(x_{i}/\alpha )^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}}
設
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
{\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right)}
獨立同分布 樣本，給定點
x
{\displaystyle x}
概率密度
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
^
h
(
x
)
=
1
n
∑
i
=
1
n
K
h
(
x
−
x
i
)
=
1
n
h
∑
i
=
1
n
K
(
x
−
x
i
h
)
,
{\displaystyle {\widehat {f}}_{h}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}K_{h}(x-x_{i})={\frac {1}{nh}}\sum _{i=1}^{n}K{\Big (}{\frac {x-x_{i}}{h}}{\Big )},}
其中
K
{\displaystyle K}
h
>
0
{\displaystyle h>0}
K
h
(
x
)
=
1
/
h
⋅
K
(
x
/
h
)
{\displaystyle K_{h}(x)=1/h\cdot K(x/h)}
偏差 和方差之間總有所權衡。
常用的核函數有：均勻核（Uniform）、三角核（Triangular）、雙權核（Biweight）、三權核（Triweight）、Epanechnikov核、正態核（Normal）等。從均方誤差的角度來看，Epanechnikov核是最佳的[ 1] [ 2]
K
(
x
)
=
ϕ
(
x
)
{\displaystyle K(x)=\phi (x)}
ϕ
{\displaystyle \phi }
唐林俊、楊虎、張洪陽：核密度估計在預測風險價值中的應用 The Application of The Kernel Density Estimates in Predicting VaR，《數學的實踐與認識》2005年10期
^ Epanechnikov, V.A. Non-parametric estimation of a multivariate probability density. Theory of Probability and Its Applications. 1969, 14 : 153–158. doi:10.1137/1114019 ^ Wand, M.P; Jones, M.C. Kernel Smoothing. London: Chapman & Hall/CRC. 1995. ISBN 978-0-412-55270-0
