穩定多項式

在探討微分方程或是差分方程的特徵方程時，多項式若滿足任一個性質，即稱為穩定：

• 所有的根都在左半平面開集內。
• 所有的根都在單位圓盤開集內。

第一個條件是連續時間線性系統的穩定條件，第二個條件則是離散時間線性系統的穩定性條件。若符合第一個條件的多項式稱為赫爾維茨多項式，第一個條件的多項式則是舒爾多項式。穩定多項式常出現在控制理論中，也應用在微分方程及差分方程的數學理論中。線性時不變系統（參照線性時不變系統理論）為BIBO穩定的條件是所有有界輸入的輸出都是有界。若線性系統的特徵方程為穩定多項式，系統則為BIBO穩定系統。若是連續時間系統，其分母需為赫爾維茨多項式，若是離散時間系統，其分母需為舒爾多項式。實務上，可以透過一些穩定性判據來判斷穩定性。

性質

• 勞斯–赫爾維茨定理提供了判斷多項式是否為赫爾維茨穩定的演算法，是用勞斯–赫爾維茨穩定性判據及林納德–奇帕特判據來實現。
• 若要測試某多項式P（次數為d）是否為舒爾穩定，將上述定理用在以下轉換後的多項式中

$Q(z)=(z-1)^{d}P\left({{z+1} \over {z-1}}\right)$

是在莫比烏斯變換 $z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}$後的結果，將左半平面映射到開集的單位圓內。P為舒爾穩定，若且唯若Q為赫爾維茨穩定而且$P(1)\neq 0$。針對高次的多項式可以用其他的測驗方式（例如Schur-Cohn測試、Jury穩定性判準或是Bistritz穩定性判準）來判定，可以避免映射上的複雜計算。

• 必要條件：（實係數的）赫爾維茨穩定多項式其係數符號都相同（均為正數或是均為負數）。
• 充份條件：（實係數的）多項式$f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}$若滿足以下條件：:$a_{n}>a_{n-1}>\cdots >a_{0}>0,$

則多項式為舒爾穩定。

• 乘積律：二個（同樣考慮赫爾維茨穩定或舒爾穩定）多項式f及g都穩定的充份必要條件為其乘積fg穩定。

例子

• $4z^{3}+3z^{2}+2z+1$為舒爾穩定，因為滿足充份條件。
• $z^{10}$為舒爾穩定（因為所有的根都為零），但不滿足充份條件。
• $z^{2}-z-2$不是赫爾維茨穩定（其根為-1,2），因為其違反了必要條件。
• $z^{2}+3z+2$是赫爾維茨穩定（其根為-1,-2）。
• 多項式 $z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1$（都是正係數），既不是赫爾維茨穩定，也不是舒爾穩定，其根為5次單位根中的4個原根

$z_{k}=\cos \left({{2\pi k} \over 5}\right)+i\sin \left({{2\pi k} \over 5}\right),\,k=1,\ldots ,4\ .$

注意

$\cos({{2\pi }/5})={{{\sqrt {5}}-1} \over 4}>0.$

這是舒爾穩定的臨界情形，因為根恰好在單位圓上，也看到上述的赫爾維茨穩定條件（根均為正）只是必要條件，不是充份條件。

外部連結

• Mathworld page （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

相關條目

• 穩定性判據
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