秩—零化度定理

秩—零化度定理是线性代数中的一个定理，给出了一个线性变换或一个矩阵的秩和它的零化度之间的关系。对一个元素在域 $\mathrm {F}$ 中的 $m\cdot n$ 矩阵 $\mathrm {A}$ ，秩－零化度定理说明，它的秩（rank A）和零化度（nullity A）之和等于 $n$ ：

\operatorname {rank} \mathrm {A} +\operatorname {nullity} \mathrm {A} =n.

同样的，对于一个从 $F-$ 线性空间 $\mathrm {V}$ 射到 $\mathrm {F} -$ 线性空间 $\mathrm {W}$ 的线性变换 $\mathrm {T} \;:\;\;\mathrm {V} \rightarrow \mathrm {W}$ ， $\mathrm {T}$ 的秩是它的象的维度， $\mathrm {T}$ 的零化度是它的核（零空间）的维度。我们有：

\operatorname {dim} (\operatorname {Im} \mathrm {T} )+\operatorname {dim} (\operatorname {Ker} \mathrm {T} )=\operatorname {dim} \mathrm {V}

也就是：

\operatorname {rank} \mathrm {T} +\operatorname {nullity} \mathrm {T} =\operatorname {dim} \mathrm {V} .

实际上定理在更广的范围内也成立，因为 $\mathrm {V}$ 和 $\mathrm {F}$ 可以是无限维的。

证明

证明的方法基于线性空间的基和同构。

设 $\mathrm {V}$ 是一个有限维线性空间，其维度 $\operatorname {dim} \mathrm {V} =n$ 。对一个从 $\mathrm {V}$ 射到 $\mathrm {F}$ 的线性变换 $\mathrm {T}$ ，它的核 $\operatorname {Ker} \mathrm {T}$ 是 $\mathrm {V}$ 的一个子空间。设 ${\mathfrak {B}}_{k}=\left(e_{1},e_{2}\cdots ,e_{p}\right)$ 是 $\operatorname {Ker} \mathrm {T}$ 的一组基（ $p\leqslant n$ ）。根据基扩充定理， ${\mathfrak {B}}_{k}$ 可以被扩充为 $\mathrm {V}$ 的一组基： ${\mathfrak {B}}=\left(e_{1},e_{2}\cdots ,e_{n}\right)$ 。除了 ${\mathfrak {B}}_{k}$ 的 $p$ 个向量以外，另外的 $n-p$ 个向量 $\left(e_{p+1},\cdots ,e_{n}\right)$ 是一组线性无关的向量。设 $\mathrm {H}$ 是它们张成的子空间，那么 $\mathrm {V}$ 是子空间 $\operatorname {Ker} \mathrm {T}$ 与 $\mathrm {H}$ 的直和：

\mathrm {V} =\operatorname {Ker} \mathrm {T} \oplus \mathrm {H}

所以，按照直和的性质，有 $\operatorname {dim} (\mathrm {H} )+\operatorname {dim} (\operatorname {Ker} \mathrm {T} )=\operatorname {dim} \mathrm {V}$ ，并且这两个子空间的交集为 $\operatorname {Ker} \mathrm {T} \cap \mathrm {H} =\left\{0\right\}$ 。同时， $\forall u\in \mathrm {V} ,$ 都可以写成 $\ u=a+b$ 的形式，其中 $a\in ker(\mathrm {T} ),\;b\in \mathrm {H}$ 。考虑 $\mathrm {T}$ 限制在 $\mathrm {H}$ 上到 $\operatorname {Im} \mathrm {T}$ 的线性变换 $\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ ：

{\begin{aligned}\mathrm {T} _{\mathrm {H} }:\mathrm {H} &\rightarrow \operatorname {Im} \mathrm {T} \\u&\mapsto \mathrm {T} (u)\end{aligned}}

下证 $\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ 是一个同构。首先由于 $\mathrm {T}$ 是线性映射，所以 $\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ 是线性映射。只需证明它也是双射：

$\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ 是一个单射，因为 $\forall u,v\in \mathrm {H}$ ， $\mathrm {T} (u)=\mathrm {T} (v)\Rightarrow \mathrm {T} (u-v)=0\Rightarrow u-v\in \mathrm {H} \cap \operatorname {Ker} \mathrm {T} \Rightarrow u-v=0\Rightarrow u=v$ 。
$\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ 是一个满射，因为 $\forall v\in \operatorname {Im} \mathrm {T}$ ， $\exists u\in \mathrm {V} ,$ 使得 $\ v=\mathrm {T} (u)$ ，而且 $u=a+b$ ，其中 $a\in \operatorname {Ker} \mathrm {T} ,\ b\in \mathrm {H}$ 。于是 $v=\mathrm {T} (u)=\mathrm {T} (a+b)=\mathrm {T} (a)+\mathrm {T} (b)\ =\mathrm {T} (b)$ ，其中 $b\in \mathrm {H}$ ，所以 $\mathrm {T} _{\mathrm {H} }$ 是一个满射。