Представление группы

Не следует путать с заданием группы.

Представле́ние гру́ппы — вообще говоря, любое действие группы. Однако чаще всего под представлением группы понимается линейное представление группы, то есть действие группы на векторном пространстве. Иными словами, представление группы — это гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Представления групп позволяют свести многие теоретико-групповые задачи к задачам линейной алгебры. Представления групп также имеют приложения в теоретической физике, так как позволяют понять, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.

Определение

Пусть $G$ — заданная группа и $W$ — векторное пространство. Тогда представление группы $G$ — это отображение $A$, ставящее в соответствие каждому элементу $g\in G$ невырожденное линейное преобразование $A_{g}:W\to W$, причём выполняются свойства

$A_{gh}=A_{g}\,A_{h},\ \,A_{g^{-1}}=A_{g}^{-1}\quad (\forall g,h\in G).$

Векторное пространство $W$ называется в этом случае пространством представления $A$. Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры, зачастую допускающим решение вычислительного характера. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы $S_{n}$ и знакопеременной группы $A_{n}$ играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь группы Лоренца).

Связанные определения

• Пусть $A\colon G\to \operatorname {Aut} (W)$ есть представление группы $G$, здесь $\operatorname {Aut} (W)$ — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства $W$. Размерностью представления $A$ называется размерность векторного пространства $(\dim W).$

• Представления $A:G\to \operatorname {Aut} (W)$ и $A'\colon G\to \operatorname {Aut} (W')$ одной и той же группы $G$ называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм $C:W'\to W$ векторных пространств, что $A'_{g}=C^{-1}A_{g}C\ (\forall g\in G).$ Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.

• Представление $A:G\to \operatorname {Aut} (W)$ называется прямой суммой представлений $A^{(i)}:G\to \operatorname {Aut} (W_{i}),\ i=1,\ldots ,n,$ если $W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{n}$ (здесь знак $\oplus$ означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого $g\in G$ подпространство $W_{i}\subset W$ инвариантно относительно преобразования $A_{g}:W\to W$ и индуцированное ограничением $A$ на $W_{i}$ представление $G\to \operatorname {Aut} (W_{i})$ эквивалентно $A^{(i)}.$

• Для данного представления $A\colon G\to \operatorname {Aut} (W)$ отображение $\chi _{A}\colon g\to \mathrm {tr} A(g)$ называется характером $A$; здесь $\mathrm {tr}$ обозначает след.

Типы представлений

• Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.

• Представление группы $G$ называется приводимым, если в векторном пространстве $W$ есть подпространство, отличное от нулевого и самого $W$, инвариантное для всех преобразований $A_{g}:W\to W(\forall g\in G)$. В противном случае представление называется неприводимым, или простым (при этом представление на пространстве $W=\{0\}$ не считается неприводимым). Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.

• Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.

• Представление называется регулярным, если $W$ — пространство функций на группе $G$ и линейное преобразование $A_{g}:W\to W$ ставит в соответствие каждой функции $f(\omega ),\ \omega \in G,$ функцию $f(g\omega ),\ \omega \in G$. Иными словами, регулярным называется естественное представление на групповом кольце группы.

• Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве $W$ над полем $\mathbb {C}$, если все преобразования $A_{g}:W\to W(\forall g\in G)$ являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве $W$ (над полем $\mathbb {C}$) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы $G$ унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве $W$ произвольное эрмитово скалярное произведение $\langle x,y\rangle$ и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой $(x,y)=\sum _{g\in G}\langle A_{g}(x),A_{g}(y)\rangle .$

• Если $G$ ― топологическая группа, то под представлением группы $G$ обычно понимается непрерывное линейное представление $A$ группы $G$ в топологическом векторном пространстве $W$. Это значит, что непрерывно отображение из $G\times W$ в $W$, заданное как $(g,v)\mapsto A_{g}v$.

Примеры

• Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
• Представление симметрической группы $S_{n}$ может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве $W$ размерности $n$ базис $e_{1},\ldots ,e_{n}$. Для каждой перестановки $g\in S_{n}:\ (1,\ldots ,n)\mapsto (i_{1},\ldots ,i_{n})$ определим линейное преобразование $A_{g}:W\to W,$ переводящее базисный вектор $e_{k}$ в базисный вектор $e_{i_{k}},$ где $k=1,\ldots ,n.$ Таким образом получается $n$-мерное представление группы $S_{n}.$
• Неприводимое двумерное представление группы $S_{3}$ можно получить, выбрав в плоскости $W$ базис $e_{1},e_{2},$ положив вектор $e_{3}=-(e_{1}+e_{2})$ и определив для каждой перестановки $g\in S_{3}:\ (1,2,3)\mapsto (i_{1},i_{2},i_{3})$ линейное преобразование $A_{g}:W\to W$, переводящее $e_{1}$ в $e_{i_{1}}$ и $e_{2}$ в $e_{i_{2}}.$
• Присоединённое представление — представление группы Ли, действующее на соответствующей алгебре Ли.
• Коприсоединённое представление — представление, сопряжённое к присоединённому.

Вариации и обобщения

В более широком смысле под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества $X$. Например:

• Проективное представление группы — гомоморфизм группы в группу проективных преобразований проективного пространства.

Ссылки

• Характер представления группы

Литература

• Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А. Представления групп // УМН. — 1956. Т. 11. — Вып. 6 (72). — С. 13–40.
• Винберг Э. Б. Линейные представления групп. — М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
• Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.
• Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1970.
• Шейнман О. К. Основы теории представлений. — М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
• Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — 2-е изд. — М.: Наука, 1978.

Ссылки

• Р. Борчердс, Плейлист «Representation theory» на YouTube