Коприсоединённое представление

Коприсоединённое представление $\mathrm {Ad} ^{*}$ группы Ли $G$ — это представление, сопряжённое^[англ.] к присоединённому. Если ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли группы $G$ , соответствующее действие $G$ на пространстве ${\mathfrak {g}}^{*}$ , сопряжённом к ${\mathfrak {g}}$ , называется коприсоединённым действием. С геометрической точки зрения оно представляет собой действие левыми сдвигами на пространстве правоинвариантных 1-форм на $G$ .

Важность коприсоединённого представления была подчёркнута в работах А. А. Кириллова, показавшего, что ключевую роль в теории представлений нильпотентных групп Ли $G$ играет понятие орбиты коприсоединённого представления (К-орбиты). В методе орбит^[англ.] Кириллова представления $G$ строятся геометрически, отталкиваясь от К-орбит. В некотором смысле последние заменяют собой классы сопряжённости $G$ , которые могут быть устроены сложным образом, в то время как работать с орбитами сравнительно просто.

Определение

Пусть $G$ — группа Ли и ${\mathfrak {g}}$ — её алгебра Ли, $\mathrm {Ad} :G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ — присоединённое представление $G$ . Тогда коприсоединённое представление $\mathrm {Ad} ^{*}:G\rightarrow \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}^{*})$ определяется как $\mathrm {Ad} _{g}^{*}:=\left(\mathrm {Ad} _{g^{-1}}\right)^{*}$ . Более точно,

\langle \mathrm {Ad} _{g}^{*}f,\,X\rangle =\langle f,\,\mathrm {Ad} _{g^{-1}}X\rangle ,\qquad g\in G,\quad X\in {\mathfrak {g}},\quad f\in {\mathfrak {g}}^{*},

где $\langle f,X\rangle$ — значение линейного функционала $f$ на векторе $X$ .

Пусть $\mathrm {ad} ^{*}$ — представление алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ в ${\mathfrak {g}}^{*}$ , индуцированное коприсоединённым представлением группы Ли $G$ . Тогда для $X\in {\mathfrak {g}}$ справедливо равенство $\mathrm {ad} _{X}^{*}=-\left(\mathrm {ad} _{X}\right)^{*}$ , где $\mathrm {ad}$ — присоединённое представление алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ . Это заключение может быть сделано исходя из инфинитезимальной формы приведённого выше определяющего уравнения для $\mathrm {Ad} ^{*}$ :

\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,Y\rangle :=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle \mathrm {Ad} _{\exp(tX)}^{*}f,\,Y\rangle \right|_{t=0}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\langle f,\,\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}Y\rangle \right|_{t=0}=\langle f,\,-\mathrm {ad} _{X}Y\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}},\quad f\in {\mathfrak {g}}^{*},

где $\exp$ — экспоненциальное отображение^[англ.] из ${\mathfrak {g}}$ в $G$ .

Генераторы

Пусть $\varphi \in C^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ — дифференцируемая функция на ${\mathfrak {g}}^{*}$ . Рассмотрим изменение функции $\varphi$ при коприсоединённом действии однопараметрической подгруппы $e^{tX}\subset G$ в направлении вектора $X\in {\mathfrak {g}}$ и продифференцируем его в единице группы:

\left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}=\langle \left.{\frac {\mathrm {d} \mathrm {Ad} _{\exp(-tX)}^{*}f}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0},\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =-\langle \mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\nabla _{f}\varphi (f)\rangle =\langle f,\,\mathrm {ad} _{X}\nabla _{f}\varphi (f)\rangle .

(1)

Здесь $\nabla _{f}\varphi$ — градиент функции $\varphi$ , который естественным образом отождествляется с элементом алгебры ${\mathfrak {g}}$ . Выберем некоторый базис $\{e_{i}\}$ в алгебре ${\mathfrak {g}}$ и пусть $\{e^{i}\}$ — взаимный ему базис в ${\mathfrak {g}}^{*}$ , то есть $\langle e_{i},\,e_{j}\rangle =\delta _{j}^{i}$ , $i,j=1,...,\dim {\mathfrak {g}}$ , где $\delta _{j}^{i}$ — символ Кронекера. Выберем в качестве $X$ базисный вектор $e_{i}$ . Тогда равенство (1) приобретает вид

\left.{\frac {\mathrm {d} \varphi (\mathrm {Ad} _{\exp(-te_{i})}^{*}f)}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{j}}}

(по дважды повторяющимся индексам здесь и ниже подразумевается суммирование), откуда видно, что в качестве базиса генераторов коприсоединённого действия можно выбрать набор векторных полей

{\hat {X}}_{i}=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial }{\partial f_{j}}},\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}

,

где $C_{ij}^{k}$ — структурные константы^[англ.] алгебры ${\mathfrak {g}}$ .

Инварианты

Инварианты^[англ.] $K$ коприсоединённого действия удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

{\hat {X}}_{i}K\equiv C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{j}}}=0,\qquad i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}.

(2)

Определим антисимметричную билинейную форму $B_{f}(X,\,Y)$ на ${\mathfrak {g}}$ посредством равенства

B_{f}(X,\,Y):=\langle f,\,[X,\,Y]\rangle ,\qquad X,Y\in {\mathfrak {g}}

.

Количество независимых уравнений в системе (2) равно $\mathrm {rank} \,B_{f}$ . Её решения в окрестности точки общего положения (то есть точки, в которой ранг формы $B_{f}$ максимален) называются функциями Казимира алгебры ${\mathfrak {g}}$ . Число функционально независимых нетривиальных (не тождественно постоянных) функций Казимира называется индексом алгебры ${\mathfrak {g}}$ и равно

\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {g}}-\sup \limits _{f\in {\mathfrak {g}}^{*}}\mathrm {rank} \,B_{f}

.

Так как ранг антисимметричной формы чётен, то чётности индекса и размерности алгебры всегда совпадают.

Помимо функций Казимира $K_{\mu }$ , $\mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$ , определённых в точках общего положения пространства ${\mathfrak {g}}^{*}$ , могут существовать инварианты, заданные на особых подмногообразиях коприсоединённого действия, на которых ранг формы $B_{f}$ ниже максимального. Если на особом инвариантном побмногообразии $M_{s}\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ ранг формы $B_{f}$ равен $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ , $s=1,...,(\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2$ , то непостоянные решения $K^{(s)}$ системы (2), ограниченной на подмногообразие $M_{s}$ , называются функциями Казимира типа $s$ . Совокупность независимых функций $\{K_{\mu },K_{\nu }^{(1)},...,K_{\rho }^{((\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}})/2)}\}$ образует базис инвариантов коприсоединённого действия: любой инвариант может быть выражен как функция от элементов этого набора. Из вида системы (2) следует, что базис инвариантов всегда может быть составлен из однородных функций от компонент ковектора $f$ .

К-орбиты

Орбита коприсоединённого представления, или, коротко, К-орбита, ${\mathcal {O}}$ , проходящая через точку $f$ в сопряжённом пространстве ${\mathfrak {g}}^{*}$ к алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ , может быть определена как орбита $\mathrm {Ad} _{G}^{*}f\subset {\mathfrak {g}}^{*}$ , или, эквивалентно, как однородное пространство $G/\mathrm {Stab} (f)$ , где $\mathrm {Stab} (f)\subset G$ — стабилизатор точки $f$ относительно коприсоединённого действия группы $G$ .

Орбиты общего положения имеют максимально возможную размерность, равную $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}$ , и называются невырожденными, или регулярными. Такие орбиты определяются через произвольный набор независимых функций Казимира уравнениями

K_{\mu }(f)=\kappa _{\mu },\qquad \mu =1,...,\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}.

Аналогично вырожденные, или сингулярные, орбиты размерности $\dim {\mathfrak {g}}-\mathrm {ind} \,{\mathfrak {g}}-2s$ , составляющие особые инвариантные подмногообразия $M_{s}$ , определяются уравнениями

K_{\mu }^{(s)}(f)=\kappa _{\mu }^{(s)},\qquad \mu =1,...,r_{s},

где $r_{s}$ — количество независимых функций Казимира типа $s$ . Если функции Казимира однозначны, каждому набору постоянных $\kappa _{\mu }^{(s)}$ соответствует счётное (как правило, конечное) число орбит. Ковекторы, принадлежащие (не)вырожденной орбите, также называют (не)вырожденными.

Форма Кириллова

Орбиты коприсоединённого представления являются подмногообразиями чётной размерности в ${\mathfrak {g}}^{*}$ и обладают естественной симплектической структурой. На каждой орбите ${\mathcal {O}}$ существует замкнутая невырожденная $G$ -инвариантная 2-форма $\omega _{\mathcal {O}}$ , которая строится следующим образом. Пусть $B_{f}$ — определённая выше антисимметричная билинейная форма на ${\mathfrak {g}}$ . Тогда можно определить $\omega _{\mathcal {O}}\in \mathrm {Hom} (\Lambda ^{2}({\mathcal {O}}),\mathbb {R} )$ посредством равенства

\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {ad} _{X}^{*}f,\,\mathrm {ad} _{Y}^{*}f):=B_{f}(X,\,Y)

.

Существование, невырожденность и $G$ -инвариантность $\omega _{\mathcal {O}}$ вытекают из следующих фактов:

Касательное пространство $T_{f}({\mathcal {O}})$ может быть отождествлено с ${\mathfrak {g}}/\mathrm {stab} (f)$ , где $\mathrm {stab} (f)$ — алгебра Ли группы $\mathrm {Stab} (f)$ .
Ядро отображения $B_{f}$ есть в точности $\mathrm {stab} (f)$ .
$B_{f}$ инвариантно относительно действия $\mathrm {Stab} (f)$ .

Кроме того, форма $\omega _{\mathcal {O}}$ замкнута. Каноническую 2-форму $\omega _{\mathcal {O}}$ называют формой Кириллова, Кириллова — Костанта^[англ.] или Кириллова — Костанта — Сурио.

К-орбита ${\mathcal {O}}$ называется целочисленной, если форма Кириллова принадлежит целочисленному классу когомологий, то есть её интеграл по любому двумерному циклу $\sigma$ в ${\mathcal {O}}$ равен целому числу:

\int \limits _{\sigma }\omega _{\mathcal {O}}=n\in Z

.

Целочисленные орбиты играют центральную роль при построении неприводимых представлений групп Ли методом орбит.

Скобка Березина

Форма $B_{f}$ снабжает пространство ${\mathfrak {g}}^{*}$ структурой Пуассонова многообразия^[англ.] со скобкой Ли — Пуассона

\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}=B_{f}(\mathrm {d} \varphi ,\,\mathrm {d} \psi )=C_{ij}^{k}f_{k}{\frac {\partial \varphi (f)}{\partial f_{i}}}{\frac {\partial \psi (f)}{\partial f_{j}}},\qquad \varphi ,\psi \in C^{2}({\mathfrak {g}}^{*})

,

являющейся вырожденной скобкой Пуассона: из вида генераторов коприсоединённого действия очевидно, что функции Казимира (и только они) коммутируют относительно неё с любой функцией на ${\mathfrak {g}}^{*}$ . Ограничение этой скобки на орбиты коприсоединённого представления, называемое скобкой Березина^[1], невырожденно и совпадает со скобкой Пуассона $\{\cdot ,\,\cdot \}_{\omega _{\mathcal {O}}}$ , порождаемой формой Кириллова:

\{\varphi ,\,\psi \}_{\omega _{\mathcal {O}}}=\omega _{\mathcal {O}}(\mathrm {sgrad} \,\varphi ,\,\mathrm {sgrad} \,\psi )=\left.\{\varphi ,\,\psi \}_{LP}\right|_{\mathcal {O}}

.

Здесь $\mathrm {sgrad} \,\varphi$ — гамильтоново векторное поле с гамильтонианом $\varphi$ .

Свойства К-орбит

Коприсоединённое действие на К-орбите $({\mathcal {O}},\omega _{\mathcal {O}})$ являетсяa гамильтоновым $G$ -действием^[англ.] с отображением момента^[англ.] ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ .
Если для орбиты ${\mathcal {O}}$ существует поляризация, то вложение ${\mathcal {O}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}$ может быть реализовано функциями $f_{i}(q,p),\ i=1,...,\dim {\mathfrak {g}}$ , линейными по $1/2\,\dim {\mathcal {O}}$ переменным $p$ , где $(q,\,p)$ — канонические координаты для формы Кириллова на орбите ${\mathcal {O}}$ .^[2]^[3]

Примеры

Группа E(2)

Алгебра Ли ${\mathfrak {e}}(2)$ группы $E(2)$ движений евклидовой плоскости определяется коммутационными соотношениями

[e_{1},\,e_{2}]=0,\qquad [e_{1},\,e_{3}]=e_{2},\qquad [e_{2},\,e_{3}]=-e_{1}

(коммутирующие элементы $e_{1}$ и $e_{2}$ соответствуют трансляциям плоскости в направлении двух координатных осей, а элемент $e_{3}$ — вращению вокруг некоторой точки; таким образом, группа $E(2)$ трёхмерна). Соответственно, матрица формы $B_{f}$ имеет вид

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&0&f_{2}\\0&0&-f_{1}\\-f_{2}&f_{1}&0\end{pmatrix}}

Её ранг равен двум всюду, кроме прямой $f_{1}=f_{2}=0$ , представляющей собой особое инвариантное подмногообразие $M_{1}$ коприсоединённого действия группы $E(2)$ на ${\mathfrak {e}}(2)^{*}$ , поэтому невырожденные К-орбиты двумерны. По генераторам этого действия

{\hat {X}}_{1}=f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{2}=-f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{3}}},\qquad {\hat {X}}_{3}=-f_{2}{\frac {\partial }{\partial f_{1}}}+f_{1}{\frac {\partial }{\partial f_{2}}}

выписываются два независимых уравнения

f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{3}}}=-f_{2}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{1}}}+f_{1}{\frac {\partial K(f)}{\partial f_{2}}}=0,\qquad f_{1}^{2}+f_{2}^{2}\neq 0

,

определяющие единственную функцию Казимира. Неособые многообразия её уровня

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

,

каждое из которых состоит из одной орбиты, представляют собой цилиндры с общей осью $M_{1}$ . Особое многообразие уровня ( $j=0$ ) совпадает с $M_{1}$ и состоит из (нульмерных) сингулярных орбит $f_{1}=f_{2}=0$ , $f_{3}=\kappa ^{(1)}$ . Форма Кириллова

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{3}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{1}}}

приводится к каноническому виду $\omega _{\mathcal {O}}=\mathrm {d} p\wedge \mathrm {d} q$ в цилиндрических координатах, ограниченных на фиксированную орбиту $j=const$ :

f_{1}=j\cos q,\qquad f_{2}=j\sin q,\qquad f_{3}=p

.

Заметим, что переход к каноническим переменным в данном случае линеен по $p$ . Возможность линейного по «импульсу» $q$ - $p$ -перехода гарантируется наличием в ${\mathfrak {e}}(2)$ двумерной подалгебры трансляций, натянутой на векторы $e_{1}$ , $e_{2}$ , являющейся в силу своей коммутативности поляризацией для любой невырожденной К-орбиты.

Группа SO(3)

$SO(3)$ — (трёхмерная) группа вращений трёхмерного евклидова пространства. Коммутационные соотношения в её алгебре Ли ${\mathfrak {so}}(3)$

[e_{1},\,e_{2}]=e_{3},\qquad [e_{1},\,e_{3}]=-e_{2},\qquad [e_{2},\,e_{3}]=e_{1}

(каждый базисный вектор соответствует генератору вращения в одной из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей) определяют вид матрицы формы $B_{f}$ :

(B_{f})={\begin{pmatrix}0&f_{3}&-f_{2}\\-f_{3}&0&f_{1}\\f_{2}&-f_{1}&0\end{pmatrix}}

.

Из трёх генераторов коприсоединённого представления в каждой точке $f\in {\mathfrak {so}}(3)^{*}\backslash \{0\}$ линейно независимы только два, поэтому несингулярные орбиты двумерны. Они представляют собой концентрические сферы

K(f)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}=\kappa \equiv j^{2},\qquad j\neq 0

,

с центром в начале координат. Особое подмногообразие $M_{1}$ состоит из одной точки $\{0\}$ , так как только в ней все три генератора становятся нулевыми.

Поскольку в алгебре ${\mathfrak {so}}(3)$ нет двумерных подалгебр, то регулярные ковекторы не имеют поляризаций, соответственно, вложение регулярных орбит в пространство ${\mathfrak {so}}(3)^{*}$ не может быть реализовано функциями, линейными по каноническим $p$ -переменным для формы Кириллова

\omega _{\mathcal {O}}={\frac {\mathrm {d} f_{1}\wedge \mathrm {d} f_{2}}{f_{3}}}

.

Однако (комплексные) двумерные подалгебры, подчинённые невырожденным ковекторам, имеются в ${\mathfrak {so}}(3)^{\mathbb {C} }$ , комплексификации алгебры ${\mathfrak {so}}(3)$ . Например, для ковектора $j\,e^{3}$ таковой является подалгебра $\{e_{1}+ie_{2},\,e_{3}\}$ , поэтому такое вложение оказывается возможным посредством переменных, принимающих комплексные значения:

f_{1}={\frac {i}{2}}\left(1-q^{2}\right)p+j\,q,\qquad f_{2}=-{\frac {1}{2}}\left(1+q^{2}\right)p-ij\,q,\qquad f_{3}=-i\,q\,p+j,\qquad q,\ p\in \mathbb {C} ,\quad |p|\leqslant j

.

Легко проверить, что этим преобразованием форма $\omega _{\mathcal {O}}$ действительно приводится к каноническому виду.

См. также

Литература

А. А. Кириллов. Элементы теории представлений. — М.: Наука, 1978. — 343 с.
Kirillov, A. A., Lectures on the Orbit Method, Graduate Studies in Mathematics^[англ.], Vol. 64, American Mathematical Society, ISBN 0821835300, ISBN 978-0821835302

Примечания

↑ А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Скобки Дирака в геометрии и механике. В книге: Дирак П. А. М. Лекции по теоретической физике. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — С. 191 – 230. — 240 с. — ISBN 5-93972-026-9.
↑ С. П. Барановский, И. В. Широков. Деформации векторных полей и канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2009. — Июль — август (т. 50, № 4). — С. 737—745. — ISSN 0037-4474.
↑ Do Ngoc Diep. Quantum strata of coadjoint orbits (англ.) // arXiv.org. — 2000. — May. — P. 1—27. — ISSN 2331-8422. Архивировано 28 ноября 2019 года.

Ссылки

Coadjoint orbit (англ.) на сайте PlanetMath.

[1] А. В. Борисов, И. С. Мамаев. Скобки Дирака в геометрии и механике. В книге: Дирак П. А. М. Лекции по теоретической физике. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — С. 191 – 230. — 240 с. — ISBN 5-93972-026-9.

[Baranovsky-2] С. П. Барановский, И. В. Широков. Деформации векторных полей и канонические координаты на орбитах коприсоединенного представления (рус.) // Сибирский математический журнал. — 2009. — Июль — август (т. 50, № 4). — С. 737—745. — ISSN 0037-4474.

[3] Do Ngoc Diep. Quantum strata of coadjoint orbits (англ.) // arXiv.org. — 2000. — May. — P. 1—27. — ISSN 2331-8422. Архивировано 28 ноября 2019 года.

[1]

[2]

[3]

Коприсоединённое представление

Содержание

Определение

Генераторы

Инварианты