Однородное пространство
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Однородное пространство неформально можно описать, как пространство, в котором все точки одинаковы, то есть существует симметрия пространства, переводящая любую точку в другую. Определение довольно общее и имеет несколько вариантов. Однородное пространство включает в себя пространства классической геометрии, такие как евклидово пространство, пространство Лобачевского, аффинное пространство, проективное пространство и другие.
Определение
[править | править код]Однородное пространство — множество X с выделенным транзитивным действием группы G.
- Элементы X называются точками однородного пространства.
- Элементы G называются симметриями пространства, а сама группа G называется группой движений, или основной группой, однородного пространства.
- Подгруппа , фиксирующая элемент , называется стабилизатором .
- Если множество X наделено дополнительной структурой, например, метрикой, топологией или гладкой структурой, то обычно предполагается, что действие G сохраняет эту структуру. Например, в случае метрики действие предполагается изометрическим. Аналогично, если X является гладким многообразием, то элементы группы являются диффеоморфизмами.
Свойства
[править | править код]- Все стабилизаторы являются сопряжёнными подгруппами.
- Однородное пространство с основной группой G можно отождествить с левыми классами смежности стабилизатора H. В этом случае левое действие G на себе порождает действие на пространстве классов смежности G/H.
Примеры
[править | править код]Метрические пространства
- Евклидово пространство с действием группы изометрий; стабилизатором этого действия является группа ортогональных преобразований.
- Стандартная сфера со следующими действиями:
- Группы ортогональных преобразований; стабилизатор этого действия изоморфен группе .
- Группы — специальной ортогональной группы; стабилизатор этого действия изоморфен группе .
- Пространство Лобачевского с действием группы Лоренца.
- Грассманиан: .
Другие
- Аффинное пространство (для аффинной группы, точечный стабилизатор полной линейной группы): .
- Топологические векторные пространства (в топологическом смысле).
- Антидеситтеровское пространство: .
Вариации и обобщения
[править | править код]- Метрическое пространство называется точечно однородным, если изометрического отображения -точечно подмножества в можно продолжить до изометрии
- Аналогично определяются конечно однородные, счётно однородные, компактно однородные пространства и так далее.
- Двойное фактор-пространство — фактор группы по подгруппе , действующей на справа и слева.
- Предоднородные векторные пространства — конечномерное векторное пространство V с действием алгебраической группы G такое, что существует орбита G, открытая в топологии Зарисского (а потому плотная). Примером является группа GL(1), действующая в одномерном пространстве. Идею предоднородных векторных пространств предложил Микио Сато.
- Подобно однородное пространство — метрическое пространство при условии, когда группа его подобий действует транзитивно на .
См. также
[править | править код]Литература
[править | править код]- Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Теоретическая физика. В 10 томах. — М.: «Наука», 1988. — Т. 2. — ISBN 5-02-014420-7.
- Steven Weinberg. Gravitation and Cosmology (англ.). — John Wiley and Sons, 1972.
- John Milnor, James D. Stasheff. Characteristic Classes (англ.). — Princeton University Press, 1974. — ISBN 0-691-08122-0.
- Takashi Koda. An Introduction to the Geometry of Homogeneous Spaces (англ.). — Kyungpook National University.
- Menelaos Zikidis. Homogeneous Spaces (англ.). — Heidelberg University.
- Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu. chapter X // Foundations of Differential Geometry (англ.). — Wiley Classics Library, 1969. — Vol. 2.
В другом языковом разделе есть более полная статья Homogeneous space (англ.). |