Теорема Сарда

Теорема Сарда — одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в дифференциальной геометрии и топологии, теории катастроф и теории динамических систем.

Названа в честь американского математика Артура Сарда. В некоторых источниках называется теоремой Бертини — Сарда, а также иногда связывается с именами Энтони Морса (им получен более ранний частный результат) и Шломо Стернберга (более поздний, но более общий результат).

Формулировка

Пусть $U$ — открытое множество в пространстве $\mathbb {R} ^{m}$ и $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ — гладкая функция класса $C^{k},$ где число $k\geqslant 1.$ Пусть $S\subset U$ — множество критических точек функции $f.$ Если $k\geqslant m-n+1,$ то множество критических значений $f(S)$ является множеством меры нуль (в смысле меры Лебега) в пространстве $\mathbb {R} ^{n}.$

Замечания

Как показал Х. Уитни, степень гладкости $k$ здесь не может быть уменьшена ни при каких сочетаниях $m$ и $n.$

Пример

Рассмотрим тождественно постоянную функцию $f\equiv f_{0}.$ Все точки её области определения $U$ являются критическими, следовательно, $S=U.$ Однако множество критических значений $f(S)$ состоит из единственной точки $f_{0}$, и следовательно, имеет нулевую меру Лебега.

Вариации и обобщения

Лемма Сарда

Мера множества критических значений $C^{1}$-гладкой функции $f:[a,b]\to \mathbb {R} ^{1}$ равна нулю.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать отрезок $[a,b]=[0,1].$ Выберем число $\varepsilon >0$ и разобьём отрезок $[0,1]$ на $n$ равных частей так, чтобы на каждой из них колебание производной $f'$ не превосходило $\varepsilon .$ Это можно сделать в силу того, что по условию леммы, функция $f'$ непрерывна на отрезке $[0,1]$, и следовательно (Теорема о равномерной непрерывности), равномерно непрерывна на нём, т. е. $\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall x_{1},x_{2}\in [0,1]:\ |x_{1}-x_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon .$

Обозначим через $\Delta _{i}$ те отрезки (части сделанного выше разбиения), которые содержат хотя бы одну критическую точку функции $f,$ т. е. $\exists \xi _{i}\in \Delta _{i}\ :\ f'(\xi _{i})=0.$ Очевидно, что для таких отрезков справедлива оценка $|f'(x)|\leqslant \varepsilon$ для всех $x\in \Delta _{i}$, и следовательно (Формула конечных приращений), для любых двух точек $y_{1},y_{2}\in f(\Delta _{i})$ выполнено неравенство $|y_{1}-y_{2}|\leqslant \max _{x\in \Delta _{i}}|f'(x)|\cdot |\Delta _{i}|\leqslant \varepsilon /n.$

Покроем каждое множество $f(\Delta _{i})$ интервалом длины $2{\cdot }\varepsilon /n,$ тогда мы получим покрытие множества всех критических значений интервалами, сумма длин которых не превосходит $2{\cdot }\varepsilon /n\cdot n=2{\cdot }\varepsilon .$ В силу произвольности выбора числа $\varepsilon$ это означает, что мера множества критических значений равна нулю.

Теорема Дубовицкого

Пусть $M^{m}$ и $N^{n}$ — два гладких многообразия положительных размерностей $m$ и $n$ и $f:M^{m}\to N^{n}$ — гладкая функция класса $C^{k},$ где $k\geqslant 1.$ Точка $x\in M^{m}$ называется неправильной, если ранг матрицы Якоби функции $f$ в ней меньше $n.$ Точка $y\in N^{n}$ называется неправильной, если $y=f(x)$ хотя бы для одной неправильной точки $x\in M^{m}$. В случае $m\geqslant n$ понятие неправильной точки совпадает с понятием критической точки функции. В случае $m<n$ все точки многообразия $M^{m}$ являются неправильными.

Если число $k\geqslant m-n+1,$ то множество неправильных точек отображения $f$ в многообразии $N^{n}$ имеет первую категорию по Бэру, то есть является конечным или счётным объединением компактных множеств, нигде не плотных в $N^{n}.$

Эта теорема была доказана советским математиком А. Я. Дубовицким.

Другие аналоги

Бесконечномерный аналог теоремы Сарда (для многообразий в банаховых пространствах) получен Стивеном Смейлом. Аналоги для отображений пространств Гёльдера и Соболева получены в. Аналог для функций пониженной гладкости получен в.

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир, 1968.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения, — Любое издание.
• Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
• Sternberg S. Lectures on differential geometry, — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.
• Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применение в теории гомотопий. — М.: Наука, 1985. — 176 c.