Веер Кнастера — Куратовского

Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, удаление из которого одной точки делает его вполне несвязным. Предложен польскими математиками Кнастером и Куратовским.

Построение

Рассмотрим прямоугольник

$S=[0;1]\times \left[0;{\tfrac {1}{2}}\right]$

Построим на его нижнем ребре канторово множество $C$ и обозначим через $A$ множество точек канторова множества первого рода (т. е. концы всех удалённых интервалов), а через $B$ все остальные точки из $C$. Пусть $L_{c}$ это отрезок прямой, соединяющий точку $c\in C$ с точкой $s=\left({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}\right).$

В этих обозначениях веером Кнастера — Куратовского называется множество $X=Q\cup I$, где

$Q=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in A,\;y\in \mathbb {Q} \}$

$I=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in B,\;y\notin \mathbb {Q} \}.$

Обоснование

Покажем, что введённое множество связно.

Предположим, что это не так, то есть существуют множества $Y$ и $Z$ такие, что $X=Y\cup Z$ и при этом ${\overline {Y}}\cap Z=Y\cap {\overline {Z}}=\emptyset$. Для определённости будем считать, что $s\in Y$. Обозначим за $u_{c}$ точку из $L_{c}$, с $y$-координатой равной точной верхней грани $y$-координат всех точек, входящих в $Z\cap L_{c}$. Если же $Z\cap L_{c}$ пусто, будем считать, что $u_{c}=c$. Очевидно, что $u_{c}$ не может принадлежать $X\setminus C$, так как иначе эта точка оказалась бы предельной как для $Y$ так и для $Z$, что противоречит предположению несвязности. То есть, $\forall c\in C\quad u_{c}\in A\subset X$ или $u_{c}\notin X$.

Пусть $\{r_{i}\}$ — все рациональные числа отрезка $[0;1]$, обозначим:

$P_{i}=\{c\in B:\exists u_{c}=(x,r_{i})\},\quad P=\cup P_{i},\quad T=\{c\in B:\;c=u_{c}\}$

Тогда $B=T\cup P$, то есть $C=A\cup T\cup P$. Заметим, что $P_{i}$ нигде не плотны в $C$, иначе бы существовал открытый интервал, пересечение которого с $C$ лежало бы в $P_{i}$, но любое такое пересечение по свойствам канторова множества обязано содержать точки из $A$ в то время как $P_{i}\subset B=C\setminus A$.

Множество $C$ является множеством второй категории как полное метрическое пространство; более того, любое открытое подмножество $C$ также второй категории. Но $P\cup A$ первой категории ($A$ счётно, а $P$ является счётным объединением нигде не плотных множеств), значит, в любом открытом подмножестве $C$ обязаны лежать точки из $T$; то есть $T$ плотно в $C$.

Теперь допустим, что $z\in Z$. В силу плотности $T$ в $C$, любое открытое множество, содержащее $z$, содержит также и некоторый сегмент отрезка $L_{t}$ для какого-то $t\in T$. По определению множества $T$ имеем $(X\cap L_{t})\setminus \{t\}\subset Y$, это значит, что $z\in {\overline {Y}}$. Получили противоречие. Значит, предположение о несвязности множества $X$ ошибочно.

Осталось показать, что удаление точки $s$ делает $X$ вполне несвязным. Предположим, что $V\subset X\setminus \{s\}$ связно. Тогда оно обязано лежать целиком внутри какого-либо сегмента $L_{c}$ (иначе бы оно было разделено некоторым сегментом надвое). Однако множество $L_{c}\cap (X\setminus \{s\})$ вполне несвязно, значит, и $V$ вполне несвязно.

Литература

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размеренности.
• Steen, Seebach. Counterexamples in Topology