Группа комплексных отражений

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Группа комплексных отраженийконечная группа, действующая на конечномерном комплексном векторном пространстве определённым образом.

Определение

[править | править код]

Комплексное отражение конечномерного комплексного векторного пространства V — это элемент конечного порядка, фиксирующий точки гиперплоскости.

Группа комплексных отражений — это конечная подгруппа, порожденная комплексными отражениями.

Связанные определения

[править | править код]
  • Группа комплексных отражений W называется неприводимой, если пространство не содержит собственных W-инвариантых  подпространств.
    • В этом случае размерность векторного пространства называется рангом W.

Классификация

[править | править код]

Любая группа комплексных отражений представляется как произведение неприводимых групп комплексных отражений, действующая на прямой сумме соответствующих пространств. Поэтому достаточно расклассифицировать неприводимые комплексные группы отражений.

Неприводимые группы комплексных отражений включают бесконечное семейство , зависящее от трёх положительных целых параметров с , и 34 исключительных групп.

Группа имеет порядок , является полупрямым произведением симметрической группы , действующей перестановками на группе -ок

таких, что — примитивный корень -ой степени из единицы и

Группу можно также описать как подгруппу индекса обобщенной симметрической группы[англ.] .

Особые случаи :

  • является группой Кокстера An−1
  • является группой Кокстера Bn = Cn
  • является группой Кокстера Dn
  • циклическая группа порядка m/p.
  • является группой Кокстера I2(m) (и группа Вейля G2 при m = 6).
  • Группа действует неприводимо на , за исключением случаев , (симметрическая группа) и (Клейнова 4 группа), когда распадается на сумму неприводимых представлений размерности и .
  • Две группы изоморфны как группы комплексных отражений, только если одна из них , а другая для некоторых положительных целых чисел и . Однако бывают и другие случаи, когда две такие группы изоморфны как абстрактные группы.

Есть несколько повторений в первых 3 строках этого списка, см. предыдущий раздел.

  • ШТ номер Шепарда — Тодда группы.
  • Ранг размерность комплексного векторного пространства группа, на котором она действует.
  • Структура описывает структуру группы. Символ «*» обозначает центральное произведение[англ.] двух групп. T, O и I обозначают группы вращений тетраэдра, октаэдра и икосаэдра, порядки этих групп соответственно 12, 24 и 60.
  • Порядок — число элементов группы.
  • Отражения — число отражений: 26412 означает, что есть 6 отражений порядка 2 и 12 порядка 4.
  • Степени — степени инвариантов кольца полиномиальных инвариантов. Например, инварианты группа № 4 форма кольцо полиномов с 2 образующими степеней 4 и 6.
ШТ Ранг Структура Порядок Отражения Степени Костепени
1 n−1 Симметрическая группа G(1,1,n) = Sym(n) n! 2n(n − 1)/2 2, 3, ...,n 0,1,...,n − 2
2 n G(m,p,n) m > 1, n > 1, p|m (G(2,2,2) приводима) mnn!/p 2mn(n−1)/2,dnφ(d) (d|m/pd > 1) m,2m,..,(n − 1)m; mn/p 0,m,..., (n − 1)m если p < m; 0,m,...,(n − 2)m, (n − 1)m − n если p = m
3 1 Циклическая группа G(m,1,1) = Zm m dφ(d) (d|md > 1) m 0
4 2 Z2.T = 3[3]3, 24 38 4,6 0,2
5 2 Z6.T = 3[4]3, 72 316 6,12 0,6
6 2 Z4.T = 3[6]2, 48 2638 4,12 0,8
7 2 Z12.T =〈3,3,3〉2, 〈3,3,2〉6 144 26316 12,12 0,12
8 2 Z4.O = 4[3]4, 96 26412 8,12 0,4
9 2 Z8.O = 4[6]2, 192 218412 8,24 0,16
10 2 Z12.O = 4[4]3, 288 26316412 12,24 0,12
11 2 Z24.O = 〈4,3,2〉12 576 218316412 24,24 0,24
12 2 Z2.O= GL2(F3) 48 212 6,8 0,10
13 2 Z4.O = 〈4,3,2〉2 96 218 8,12 0,16
14 2 Z6.O = 3[8]2, 144 212316 6,24 0,18
15 2 Z12.O = 〈4,3,2〉6 288 218316 12,24 0,24
16 2 Z10.I = 5[3]5, 600 548 20,30 0,10
17 2 Z20.I = 5[6]2, 1200 230548 20,60 0,40
18 2 Z30.I = 5[4]3, 1800 340548 30,60 0,30
19 2 Z60.I = 〈5,3,2〉30 3600 230340548 60,60 0,60
20 2 Z6.I = 3[5]3, 360 340 12,30 0,18
21 2 Z12.I = 3[10]2, 720 230340 12,60 0,48
22 2 Z4.I = 〈5,3,2〉2 240 230 12,20 0,28
23 3 W(H3) = Z2 × PSL2(5),

группа Коксетера [5,3],

120 215 2,6,10 0,4,8
24 3 W(J3(4)) = Z2 × PSL2(7), Klein

[1 1 14]4,

336 221 4,6,14 0,8,10
25 3 W(L3) = W(P3) = 31+2.SL2(3),

группа Гессе 3[3]3[3]3,

648 324 6,9,12 0,3,6
26 3 W(M3) =Z2 ×31+2.SL2(3),

группа Гессе, 2[4]3[3]3,

1296 29 324 6,12,18 0,6,12
27 3 W(J3(5)) = Z2 ×(Z3.Alt(6)), группа Влентиера[англ.]

[1 1 15]4,

2160 245 6,12,30 0,18,24
28 4 W(F4) = (SL2(3)* SL2(3)).(Z2 × Z2)

группа Вейля [3,4,3],

1152 212+12 2,6,8,12 0,4,6,10
29 4 W(N4) = (Z4*21 + 4).Sym(5)

[1 1 2]4,

7680 240 4,8,12,20 0,8,12,16
30 4 W(H4) = (SL2(5)*SL2(5)).Z2

группа Коксетера [5,3,3],

14400 260 2,12,20,30 0,10,18,28
31 4 W(EN4) = W(O4) = (Z4*21 + 4).Sp4(2) 46080 260 8,12,20,24 0,12,16,28
32 4 W(L4) = Z3 × Sp4(3),

3[3]3[3]3[3]3,

155520 380 12,18,24,30 0,6,12,18
33 5 W(K5) = Z2 ×Ω5(3) = Z2 × PSp4(3)= Z2 × PSU4(2)

[1 2 2]3,

51840 245 4,6,10,12,18 0,6,8,12,14
34 6 W(K6)= Z3.Ω−

6(3).Z2, группа Митчела[англ.]
[1 2 3]3,

39191040 2126 6,12,18,24,30,42 0,12,18,24,30,36
35 6 W(E6) = SO5(3) = O−

6(2) = PSp4(3).Z2 = PSU4(2).Z2,
группа Вейля [32,2,1],

51840 236 2,5,6,8,9,12 0,3,4,6,7,10
36 7 W(E7) = Z2 ×Sp6(2),

группа Вейля [33,2,1],

2903040 263 2,6,8,10,12,14,18 0,4,6,8,10,12,16
37 8 W(E8)= Z2.O+

8(2),
группа Вейля [34,2,1],

696729600 2120 2,8,12,14,18,20,24,30 0,6,10,12,16,18,22,28
  • Конечная группа, действующая на комплексном векторном пространстве, является  группой комплексных отражений тогда и только тогда, когда кольцо инвариантов является полиномиальным кольцом.
  • Если ранг группы отражений, то степени образующих кольца инвариантов называются степенями W. Они перечислены в столбце выше столбце «степени». Многие другие инварианты группы определяются степенями:
    • Центр неприводимой группы отражений является циклическим и его порядок равен наибольшему общему делителю степеней.
    • Порядок группы отражений равен произведению его степеней.
    • Число отражений группы равно сумме степеней минус ранг.
    • Степени удовлетворяют следующему тождеству
  • Каждая неприводимая группа комплексных отражений имеет минимальное число образующих, или отражений.
    • Минимальное число образующих равно n эквивалентно тому, что для всех .
      • В частности, для группы это выполняется только при р = 1 или m.
  • Broué, Michel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995), "On complex reflection groups and their associated braid groups", Representations of groups (Banff, AB, 1994) (PDF), CMS Conf. Proc., vol. 16, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 1—13, MR 1357192 Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
  • Broué, Michel; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1998), "Complex reflection groups, braid groups, Hecke algebras", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 500: 127—190, doi:10.1515/crll.1998.064, ISSN 0075-4102, MR 1637497
  • Deligne, Pierre (1972), "Les immeubles des groupes de tresses généralisés", Inventiones Mathematicae, 17 (4): 273—302, doi:10.1007/BF01406236, ISSN 0020-9910, MR 0422673
  • Hiller, Howard Geometry of Coxeter groups. Research Notes in Mathematics, 54. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, Mass.-London, 1982. iv+213 pp. ISBN 0-273-08517-4*
  • Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009), Unitary reflection groups, Australian Mathematical Society Lecture Series, vol. 20, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-74989-3, MR 2542964
  • Shephard, G. C.; Todd, J. A. (1954), "Finite unitary reflection groups", Canadian Journal of Mathematics. Journal Canadien de Mathématiques, 6, Canadian Mathematical Society: 274—304, doi:10.4153/CJM-1954-028-3, ISSN 0008-414X, MR 0059914
  • Coxeter, Finite Groups Generated by Unitary Reflections, 1966, 4. The Graphical Notation, Table of n-dimensional groups generated by n Unitary Reflections. pp. 422-423