Лемма Шура

Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.

Формулировка леммы

Представление группы $G$ автоморфизмами некоторого векторного пространства $GL(V)$ $\sigma :G\to GL(V)$ называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно $\sigma$ подпространства отличного от 0 и самого $V$.

Лемма Шура: Пусть $f$ — линейное отображение векторных пространств $f:V_{1}\to V_{2}$ над некоторым полем $K$ такое, что существуют два неприводимых представления $\sigma :G\to GL(V_{1})$ и $\tau :G\to GL(V_{2})$, такие, что $\tau _{g}f=f\sigma _{g}$ для всех $g$. Тогда:

1) Если $f$ не является изоморфизмом, то $f$ — нулевое отображение.

2) Если $V_{1}=V_{2}$ конечномерны над алгебраически замкнутым полем $K$ и $\sigma =\tau$, то $f$ является умножением на некоторый элемент поля $f:x\to \lambda x$.

Доказательство

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть $E$ и $F$ модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм $f:E\rightarrow F$ является либо нулевым, либо изоморфизмом на $F$.

В самом деле, так как $\mathrm {Ker} \,f$ и $\mathrm {Im} \,f$ являются подмодулями, то если $f$ ненулевой гомоморфизм, имеем $\mathrm {Ker} \,f=0$, а $\mathrm {Im} \,f=F$, то есть $f$ — изоморфизм на весь модуль $F$.

Теперь определим групповое кольцо $K[G]$. Элементами этого кольца будут линейные комбинации $k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n}$. Умножение определяется $(k_{1}g_{1})(k_{2}g_{2})=(k_{1}k_{2})(g_{1}g_{2})$ и далее по линейности. Ясно, что $K[G]$ кольцо. На пространстве $V_{1}$ определим умножение элемента из $K[G]$ на элемент $x\in V_{1}$: $(k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n})x=k_{1}\sigma _{g_{1}}x+k_{2}\sigma _{g_{2}}x+...+k_{n}\sigma _{g_{n}}x$. Тем самым мы превращаем $V_{1}$ в модуль над кольцом $K[G]$. Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к. $\sigma$ является представлением. $V_{2}$ аналогично, заменяя $\sigma$ на $\tau$, будет модулем над $K[G]$, а равенство $\tau _{g}f=f\sigma _{g}$ то, что отображение $f$ является гомоморфизмом модулей. Так как $\sigma$ и $\tau$ неприводимы, а это означает простоту $V_{1}$ и $V_{2}$ как модулей над $K[G]$, то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного вектора $x\neq 0$ для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значению $\lambda$, $f(x)=\lambda x$. Для любого элемента $g\in G$ имеем $\sigma _{g}(f-\lambda \operatorname {id} )=(f-\lambda \operatorname {id} )\sigma _{g}$, причём для собственного вектора $(f-\lambda \operatorname {id} )(x)=0,$ следовательно $f-\lambda \operatorname {id}$ по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит, $f$ является умножением на некоторое $\lambda$.

Литература

• Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
• Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1969.