|
|
|
|
== Модель стохастической волатильности Хестона == |
|
|
(Сергей Михайлов - Оценка опционов в моделях стохастической волатильности.http://www.0-forex.ru/414.html)''формулы не копируются, смотрите на сайте'' |
|
|
|
|
|
Модель, предложенная Хестоном, обобщает модель Black-Scholes (1973) и включает её как специальный случай. В постановке Хестона учитывается нелогнормальное распределение цен активов, эффект отрицательной корреляции волатильности и относительных доходностей, свойство волатильности возвращаться к равновесным уровням, и при этом модель Хестона имеет аналитические решения для стандартных опционов. Поверхности имплицитной волатильности, генерируемые моделью Хестона, с высокой точностью совпадают с реальными поверхностями имплицитной волатильности. Сложности возникают с оценкой опциона по риск-нейтральной мере. Так как модель незавершённая - невозможно построить безрисковый портфель из опциона и акции. |
|
|
Далее описывается модель стохастической волатильности Хестона и даются некоторые детали для вычисления цен опционов. |
|
|
Используются следующие обозначения: |
|
|
- спотовая цена акции, финансового индекса….. |
|
|
- вариация |
|
|
- цена европейского опциона колл |
|
|
- страйк |
|
|
- стандартные винеровские процессы |
|
|
- ставка по безрисковому депозиту |
|
|
- поток дивидендов |
|
|
- cкорость возвращения к равновесной вариации |
|
|
- равновесная вариация |
|
|
- начальная вариация |
|
|
- волатильность вариации |
|
|
- параметр корреляции |
|
|
- текущая дата |
|
|
- дата исполнения опциона. |
|
|
Модель стохастической волатильности Хестона (1993) определяется двумя стохастическими уравнениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
Стохастические процессы коррелированны . Модель для вариации является процессом квадратного корня Feller (1951) и Cox, Ingersoll and Ross (1985). Для процесса вариация всегда положительна и если то вариация не достигает нуля. Решение уравнения для среднего |
|
|
. |
|
|
Отметим, что детерминированная часть процесса асимптотически устойчива, если . Ясно, что положение равновесия равно . |
|
|
Уравнение не имеет аналитического решения. Но переходная плотность распределения известна. Она определяется нецентральным хи-квадрат распределением. |
|
|
Применяя лемму Ito и стандартные арбитражные аргументы, мы получаем уравнение в частных производных Гармана |
|
|
|
|
|
со следующими терминальными |
|
|
|
|
|
и граничными условиями |
|
|
|
|
|
где рыночная цена риска, связанного с волатильностью. |
|
|
Хестон строит решение уравнения в частных производных не прямым способом, а с использованием метода характеристических функций. Он ищет решение в форме, соответствующей модели Black-Scholes |
|
|
, |
|
|
где дельта европейского опциона колл и является условной риск-нейтральной вероятностью, что цена на актив будет больше чем в момент исполнения опциона. Обе вероятности также удовлетворяют уравнению . При условии, что характеристические функции известны, величины определяются через обратное преобразование Фурье |
|
|
|
|
|
Хестон ищет характеристические функции в виде |
|
|
|
|
|
После подстановки в уравнении Гармана мы получаем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения для неизвестных функций и : |
|
|
|
|
|
|
|
|
с нулевыми начальными условиями |
|
|
|
|
|
Решением системы определяется выражениями |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 Реализация модели стохастической волатильности Хестона |
|
|
|
|
|
6.1 Вычисление интеграла Фурье |
|
|
Обратное преобразование Фурье - критический пункт в реализации численного алгоритма оценки опциона по известной характеристической функции. Комплексные числа могут быть легко реализованы при использовании класса complex<> из C ++ стандартной библиотеки. Поскольку интеграл должен вычисляться с высокой точностью для широкого диапазона параметров (параметры стохастического процесса, различные страйки и времена экспирации), мы решили использовать адаптивную квадратуру для первой попытки. Адаптивный алгоритм может сам приспособиться к изменениям в подынтегральном выражении, избавляя от необходимости контролировать шаг интегрирования. Мы использовали адаптивный Simpson и адаптивную квадратуру Gauss-Lobatto, которые дали хорошие результаты, при этом алгоритм Gauss-Lobatto быстрее при заданной точности. Но, поиграв с моделью, мы остановились на оптимизированном методе Gauss с фиксированным шагом интегрирования для более быстрого вычисления. |
|
|
|
|
|
6.2 Ловушки комплексного логарифма |
|
|
Из-за того, что комплексный логарифм является многозначной функцией, |
|
|
|
|
|
где целое число, обычно ограничиваются его главным значением , полагая . Этот выбор используется в стандартной C++ log(z) функции, и она разрывная при пересечении отрицательной реальной оси. |
|
|
|
|
|
Рисунок 1. Реальная и мнимая части главного значения комплексного логарифма |
|
|
Сначала мы имели проблемы с числовой реализацией комплексного логарифма. Но после реализации кода с комплексным логарифмом, который сохраняет непрерывность функции при переходе через отрицательную реальную ось, результаты наших трех различных числовых подходов (моделирование по методу Монте-Карло, метод конечных разностей и аналитическое решение) совпали, и это дало нам уверенность двигаться дальше. |
|
|
|
|
|
(--~~~~) |