Статистический критерий

Статистический критерий — математическое правило, в соответствии с которым принимается или отвергается та или иная статистическая гипотеза с заданным уровнем значимости. Построение критерия представляет собой выбор подходящей функции от результатов наблюдений (ряда эмпирически полученных значений признака), которая служит для выявления меры расхождения между эмпирическими значениями и гипотетическими.

Определение

Пусть даны выборка $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})$ из неизвестного совместного распределения $\mathbb {P} ^{\mathbf {X} }$, и семейство статистических гипотез $H_{0},H_{1},\ldots$. Тогда статистическим критерием называется функция, устанавливающая соответствие между наблюдаемыми величинами и возможными гипотезами:

$f:\mathbf {X} \to \{H_{0},H_{1},\ldots \}$.

Таким образом, каждой реализации выборки $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ статистический критерий сопоставляет наиболее подходящую с точки зрения этого критерия гипотезу о распределении, породившем данную реализацию.

Виды критериев

Статистические критерии подразделяются на следующие категории:

• Критерии значимости. Проверка на значимость предполагает проверку гипотезы о численных значениях известного закона распределения: $H_{0}:\quad a=a_{0}$ — нулевая гипотеза. $H_{1}:\quad a>a_{0}\quad (a<a_{0})$ или $a\neq a_{0}$ — конкурирующая гипотеза.

• Критерии согласия. Проверка на согласие подразумевает проверку предположения о том, что исследуемая случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Критерии согласия можно также воспринимать как критерии значимости. Критериями согласия являются:

1. Критерий Пирсона
2. Критерий Колмогорова
3. Критерий Андерсона — Дарлинга
4. Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
5. Критерий согласия Купера
6. Z-тест
7. Тест Харке — Бера
8. Критерий Шапиро — Уилка
9. График нормальности — не столько критерий, сколько графическая иллюстрация: точки специально построенного графика должны лежать почти на одной прямой.

• Критерии проверки на однородность. При проверке на однородность случайные величины исследуются на факт значимости различия их законов распределения (то есть проверки того, подчиняются ли эти величины одному и тому же закону). Используются в факторном анализе для определения наличия зависимостей.

Это разделение условно, и зачастую один и тот же критерий может быть использован в разных качествах.

Непараметрические критерии

Группа статистических критериев, которые не включают в расчёт параметры вероятностного распределения и основаны на оперировании частотами или рангами.

• Q-критерий Розенбаума
• U-критерий Манна — Уитни
• Критерий Уилкоксона
• Критерий Пирсона
• Критерий Колмогорова — Смирнова
• Критерий Вальда-Вольфовица

Параметрические критерии

Группа статистических критериев, которые включают в расчет параметры вероятностного распределения признака (средние и дисперсии).

• t-критерий Стьюдента
• Критерий Фишера
• Критерий отношения правдоподобия
• Критерий Романовского

Пример статистического критерия

Пусть дана независимая выборка $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\top }$ из нормального распределения ${\mathcal {N}}(\mu ,1),\ i=1,\ldots ,n$ (здесь $\mu$ — неизвестный параметр). Пусть имеется две простые гипотезы:

${\begin{matrix}H_{0}:&\mu =0,\\H_{1}:&\mu =1.\end{matrix}}$

Тогда можно определить следующий статистический критерий:

$f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left\{{\begin{matrix}H_{0},&{\bar {x}}\leq 0.5\\H_{1},&{\bar {x}}>0.5,\end{matrix}}\right.$

где ${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}$ — выборочное среднее.

См. также

• Проверка статистических гипотез
• Статистическая значимость критерия
• Мощность критерия
• Ошибки первого и второго рода
• Факторный анализ
• Дисперсионный анализ
• Регрессионный анализ
• Ковариационный анализ
• Receiver operating characteristic
• Распределение частот

Литература

1. Р 50.1.037-2002. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика: Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть II: Непараметрические критерии. — М.: Госстандарт РФ, 2002. Электронная версия.