Пи-теорема: различия между версиями

[отпатрулированная версия]

Содержимое удалено Содержимое добавлено

Линейный

Текущая версия от 06:40, 4 ноября 2024

Пи-теорема ( $\Pi$ -теорема, $\pi$ -теорема) — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется зависимость между $n$ физическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она эквивалентна зависимости между, вообще говоря, меньшим числом $p=n-k$ безразмерных величин, где $k$ — наибольшее число величин с независимыми размерностями среди исходных $n$ величин. Пи-теорема позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен.

Варианты названия

В русскоязычной литературе по теории размерностей и моделированию обычно используется название пи-теорема ( $\Pi$ -теорема, $\pi$ -теорема)^[1]^[2]^[3]^[4], происходящее от традиционного обозначения безразмерных комбинаций с помощью (прописной или строчной) греческой буквы «пи». В англоязычной литературе теорему обычно связывают с именем Эдгара Букингема, а во франкоязычной — с именем Эме Ваши́^[фр.].

Историческая справка

По-видимому, впервые пи-теорема была доказана Ж. Бертраном^[5] в 1878 году. Бертран рассматривает частные примеры задач из электродинамики и теории теплопроводности, однако его изложение содержит в отчётливом виде все основные идеи современного доказательства пи-теоремы, а также ясное указание на применение пи-теоремы для моделирования физических явлений. Широкую известность методика применения пи-теоремы (англ. the method of dimensions) получила благодаря работам Рэлея (первое применение пи-теоремы в общем виде^[6] к зависимости падения давления в трубопроводе от определяющих параметров относится, вероятно, к 1892 году^[7], эвристическое доказательство с использованием разложения в степенной ряд — к 1894 году^[8]).

Формальное обобщение пи-теоремы на случай произвольного числа величин было впервые сформулировано Ваши́ в 1892 году^[9], а позже и, по-видимому, независимо — А. Федерманом^[10], Д. Рябушинским^[11] в 1911 году и Бакингемом^[12] в 1914 году. Впоследствии пи-теорема обобщена^{[источник не указан 4511 дней]} Германом Вейлем в 1926 году.

Формулировка теоремы

Для простоты ниже приводится формулировка для положительных величин $q_{i}$ .

Предположим, что имеется зависимость между $n$ физическими величинами $q_{1}$ , $q_{2}$ , $\ldots$ , $q_{n}$ :

f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,

вид которой не меняется при изменении масштабов единиц в выбранном классе систем единиц (например, если используется класс систем единиц LMT, то вид функции $f$ не меняется при любых изменениях эталонов длины, времени и массы, скажем, при переходе от измерений в килограммах, метрах и секундах к измерениям в фунтах, дюймах и часах).

Выберем среди аргументов функции наибольшую совокупность величин с независимыми размерностями (такой выбор можно, вообще говоря, производить различными способами). Тогда если число величин с независимыми размерностями обозначено $k$ и они занумерованы индексами $1$ , $2$ , $\ldots$ , $k$ (в противном случае их можно перенумеровать), то исходная зависимость $f$ эквивалентна зависимости между $p=n-k$ безразмерными величинами $\pi _{1}$ , $\pi _{2}$ , $\ldots$ , $\pi _{p}$ :

F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,

где $\pi _{p}$ — безразмерные комбинации, полученные из оставшихся исходных величин $q_{k+1}$ , $q_{k+2}$ , $\ldots$ , $q_{n}$ делением на выбранные величины в соответствующих степенях:

\pi _{1}={\frac {q_{k+1}}{q_{1}^{a}\cdot q_{2}^{b}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{z}}},

\vdots

\pi _{p}={\frac {q_{n}}{q_{1}^{A}\cdot q_{2}^{B}\cdot \ldots \cdot q_{k}^{Z}}}

(безразмерные комбинации всегда существуют потому, что $q_{1}$ , $q_{2}$ , $\ldots$ , $q_{k}$ — совокупность размерно-независимых величин наибольшего размера, и при добавлении к ним ещё одной величины получается совокупность с зависимыми размерностями).

Доказательство

Доказательство пи-теоремы очень простое^[13]. Исходную зависимость $f$ между $q_{1}$ , $q_{2}$ , $\ldots$ , $q_{n}$ можно рассматривать как некоторую зависимость между $q_{1}$ , $q_{2}$ , $\ldots$ , $q_{k}$ и $\pi _{1}$ , $\pi _{2}$ , $\ldots$ , $\pi _{p}$ :

\Phi (q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k},\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,

причём вид функции $\Phi$ также не меняется при изменении масштабов единиц. В силу размерной независимости величин $q_{1}$ , $q_{2}$ , $\ldots$ , $q_{k}$ всегда можно выбрать такой масштаб единиц, что эти величины станут равными единице, в то время как $\pi _{1}$ , $\pi _{2}$ , $\ldots$ , $\pi _{p}$ , будучи безразмерными комбинациями, своих значений не изменят, поэтому при так выбранном масштабе единиц, а значит, в силу инвариантности, и в любой системе единиц, функция $\Phi$ фактически зависит только от $\pi _{p}$ :

\Phi (1,1,\ldots ,1,\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})\equiv H(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0.

Частные случаи

Применение к уравнению, разрешенному относительно одной величины

Часто используется вариант пи-теоремы для функциональной зависимости одной физической величины $q$ от нескольких других $q_{1}$ , $q_{2}$ , $\ldots$ , $q_{n}$ :

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}).

В этом случае пи-теорема утверждает, что зависимость эквивалентна связи

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p}),

где

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega }}},

а $\pi _{i}$ определяются так же, как и выше.

Случай, когда пи-теорема даёт вид зависимости с точностью до множителя

В одном важном частном случае, когда в зависимости

q=f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})

все аргументы имеют независимые размерности, применение пи-теоремы даёт

\pi ={\frac {q}{q_{1}^{\alpha }\cdot q_{2}^{\beta }\cdot \ldots \cdot q_{k}^{\omega }}}={\text{const}},

то есть вид функциональной зависимости определяется с точностью до константы. Значение константы методами теории размерностей не определяется, и для её нахождения нужно использовать экспериментальные или другие теоретические методы.

Замечания о применении пи-теоремы

Выбор аргументов с независимыми размерностями, вообще говоря, можно делать различными способами, в результате чего при применении пи-теоремы формально могут получаться разные выражения. Однако на самом деле получающиеся результаты эквивалентны, и из одной формы записи можно получить другую путём перехода к комбинациям безразмерных параметров.
В формулировке пи-теоремы требование инвариантности зависимости является важным. Если, например, при работе в Международной системе единиц (СИ) в эксперименте была получена зависимость пути $s$ , пройденного падающим телом, от времени $t$

s={\frac {9{,}81\cdot t^{2}}{2}},

то в таком виде она не удовлетворяет условиям пи-теоремы.

Применение пи-теоремы для физического моделирования

Пи-теорема применяется для физического моделирования различных явлений в аэродинамике, гидродинамике, теории упругости, теории колебаний. Моделирование основано на том, что если для двух природных процессов («модельного» и «натурного», например, для потока воздуха вокруг модели самолёта в аэродинамической трубе и потока воздуха вокруг реального самолёта) безразмерные аргументы (их называют критерии подобия) в зависимости

\pi =F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})

совпадают, что может быть осуществлено за счёт специального выбора параметров «модельного» объекта, то и безразмерные значения функции $\pi$ также совпадают. Это позволяет «пересчитывать» размерные экспериментальные значения параметров от «модельного» объекта к «натурному», даже если вид функции $F$ неизвестен. Если совпадения всех критериев подобия для «модельного» и «натурного» объектов достичь невозможно, то часто прибегают к приближённому моделированию, когда достигается подобие только по критериям, отражающим влияние наиболее существенных факторов, тогда как влияние второстепенных факторов учитывается приближённо на основе дополнительных соображений (не следующих из теории размерностей).

Примеры применения пи-теоремы

Частота колебаний колокола

Излучение звука колоколом происходит в результате его собственных колебаний, которые могут описываться в рамках линейной теории упругости. Частота $f$ издаваемого звука зависит от плотности $\rho$ , модуля Юнга $E$ и коэффициента Пуассона $\nu$ металла, из которого сделан колокол, и от конечного числа геометрических размеров $l_{1}$ , $l_{2}$ , $\ldots$ , $l_{N}$ колокола:

f=F(\rho ,E,\nu ,l_{1},l_{2},\ldots ,l_{N}).

Если используется класс систем единиц LMT, то в качестве величин с независимыми размерностями можно, например, выбрать $\rho$ , $E$ и $l_{1}$ (выбранные величины, входящие в максимальную размерно-независимую подсистему, подчеркнуты):

f=F({\underline {\rho }},{\underline {E_{\!}}},\nu ,{\underline {l_{1}}},l_{2},\ldots ,l_{N}),

и применение пи-теоремы даёт

{\frac {fl_{1}}{\sqrt {E/\rho }}}=G\left(\nu ,{\frac {l_{2}}{l_{1}}},{\frac {l_{3}}{l_{1}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{1}}}\right).

Если имеются два геометрически подобных колокола из одного и того же материала, то для них аргументы функции $G$ совпадают, поэтому отношение их частот обратно пропорционально отношению их размеров (или обратно пропорционально кубическому корню из отношения их масс). Эта закономерность подтверждается экспериментально^[14].

Отметим, что если бы в качестве величин с независимыми размерностями были выбраны другие величины, например $\rho$ , $E$ и $l_{2}$ , то применение пи-теоремы дало бы формально другой результат:

{\frac {fl_{2}}{\sqrt {E/\rho }}}=H\left(\nu ,{\frac {l_{1}}{l_{2}}},{\frac {l_{3}}{l_{2}}},\ldots ,{\frac {l_{N}}{l_{2}}}\right),

но получаемые выводы остались бы, естественно, теми же.

Сопротивление при медленном движении шара в вязкой жидкости

При медленном (при малых числах Рейнольдса) стационарном движении сферы в вязкой жидкости величина силы сопротивления $F$ зависит от вязкости жидкости $\mu$ , а также от скорости $V$ и радиуса $R$ сферы (плотность жидкости не входит в число определяющих параметров, так как при малых скоростях влияние инерции жидкости пренебрежимо мало). Применяя к зависимости

F=f(\mu ,V,R)

пи-теорему, получаем

{\frac {F}{\mu VR}}={\text{const}},

т. е. в этой задаче сила сопротивления находится с точностью до константы. Значение константы из соображений размерности не находится (решение соответствующей гидродинамической задачи даёт для константы значение $6\pi$ , которое подтверждается экспериментально).

См. также

Ссылки

Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории пи-теоремы и теории подобия Архивная копия от 13 апреля 2021 на Wayback Machine

Примечания

↑ Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике. — Л.: Гидрометеоиздат, 1978. — С. 25. — 208 с.
↑ Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1981. — С. 31. — 448 с. Архивировано 15 декабря 2014 года.
↑ Бриджмен П. Анализ размерностей. — Ижевск: РХД, 2001. — С. 45. — 148 с. Архивировано 27 октября 2007 года.
↑ Хантли Г. Анализ размерностей. — М.: Мир, 1970. — С. 6. — 176 с. Архивировано 19 февраля 2014 года. (предисловие к русскому изданию)
↑ Bertrand J. Sur l'homogénété dans les formules de physique // Comptes rendus. — 1878. — Т. 86, № 15. — С. 916—920. Архивировано 9 апреля 2016 года.
↑ Когда после применения пи-теоремы возникает произвольная функция от безразмерных комбинаций.
↑ Rayleigh. On the question of the stability of the flow of liquids // Philosophical magazine. — 1892. — Т. 34. — С. 59—70. Архивировано 13 апреля 2021 года.
↑ Стретт Дж. В. (лорд Рэлей). Теория звука. — М.: ГИТТЛ, 1955. — Т. 2. — С. 348. — 476 с. Архивировано 15 декабря 2014 года.
↑ Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique // Annales Télégraphiques. — 1892. — Т. 19. — С. 25–28. Цитаты из статьи Ваши с формулировкой пи-теоремы приводятся в статье: Macagno E. O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute. — 1971. — Т. 292, вып. 6. — С. 391—402. Архивировано 13 апреля 2021 года.
↑ Федерман А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка // Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики. — 1911. — Т. 16, вып. 1. — С. 97—155. Архивировано 13 апреля 2021 года.
↑ Riabouchinsky D. Méthode des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique // L’Aérophile. — 1911. — С. 407–408. Архивировано 13 апреля 2021 года.
↑ Buckingham E. On physically similar systems: illustrations of the use of dimensional equations // Physical Review. — 1914. — Т. 4, № 4. — С. 345—376. Архивировано 26 апреля 2014 года.
↑ Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука, 1977. — С. 91—92.
↑ Пухначёв Ю. Рассеяние, затухание, рефракция — три ключа к разгадке парадокса // Наука и жизнь. — 1983. — № 2. — С. 117—118.

[1] Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике. — Л.: Гидрометеоиздат, 1978. — С. 25. — 208 с.

[2] Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1981. — С. 31. — 448 с. Архивировано 15 декабря 2014 года.

[3] Бриджмен П. Анализ размерностей. — Ижевск: РХД, 2001. — С. 45. — 148 с. Архивировано 27 октября 2007 года.

[4] Хантли Г. Анализ размерностей. — М.: Мир, 1970. — С. 6. — 176 с. Архивировано 19 февраля 2014 года. (предисловие к русскому изданию)

[5] Bertrand J. Sur l'homogénété dans les formules de physique // Comptes rendus. — 1878. — Т. 86, № 15. — С. 916—920. Архивировано 9 апреля 2016 года.

[6] Когда после применения пи-теоремы возникает произвольная функция от безразмерных комбинаций.

[7] Rayleigh. On the question of the stability of the flow of liquids // Philosophical magazine. — 1892. — Т. 34. — С. 59—70. Архивировано 13 апреля 2021 года.

[8] Стретт Дж. В. (лорд Рэлей). Теория звука. — М.: ГИТТЛ, 1955. — Т. 2. — С. 348. — 476 с. Архивировано 15 декабря 2014 года.

[9] Vaschy A. Sur les lois de similitude en physique // Annales Télégraphiques. — 1892. — Т. 19. — С. 25–28. Цитаты из статьи Ваши с формулировкой пи-теоремы приводятся в статье: Macagno E. O. Historico-critical review of dimensional analysis // Journal of the Franklin Institute. — 1971. — Т. 292, вып. 6. — С. 391—402. Архивировано 13 апреля 2021 года.

[10] Федерман А. О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка // Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики. — 1911. — Т. 16, вып. 1. — С. 97—155. Архивировано 13 апреля 2021 года.

[11] Riabouchinsky D. Méthode des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique // L’Aérophile. — 1911. — С. 407–408. Архивировано 13 апреля 2021 года.

[12] Buckingham E. On physically similar systems: illustrations of the use of dimensional equations // Physical Review. — 1914. — Т. 4, № 4. — С. 345—376. Архивировано 26 апреля 2014 года.

[13] Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. — М.: Наука, 1977. — С. 91—92.

[14] Пухначёв Ю. Рассеяние, затухание, рефракция — три ключа к разгадке парадокса // Наука и жизнь. — 1983. — № 2. — С. 117—118.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''π-теорема''' — основополагающая теорема [[Анализ размерности|анализа размерностей]]. Теорема утверждает, что если имеется физически значимое выражение, включающее в себя ''n'' физических переменных, и эти переменные описываются при помощи ''k'' независимых фундаментальных физических величин, то исходное выражение эквивалентно выражению, включающему множество из ''p = n-k'' [[Физическая размерность|безразмерных]] величин, построенных из исходных переменных. Это позволяет вычислять множество безразмерных величин по данным физическим значениям, даже если неизвестно выражение, связывающее эти значения. Способ выбора множества безразмерных параметров не единственный: '''π-теорема''' демонстрирует, как это можно сделать, но не обеспечивает, что полученные параметры будут наиболее «физически значимыми».
+'''Пи-теорема''' (<math>\Pi</math>'''-теорема''', <math>\pi</math>'''-теорема''') — основополагающая теорема [[Анализ размерности|анализа размерностей]]. Теорема утверждает, что если имеется зависимость между <math>n</math> физическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она эквивалентна зависимости между, вообще говоря, меньшим числом <math>p=n-k</math> [[Физическая размерность|безразмерных]] величин, где <math>k</math> — наибольшее число величин с независимыми размерностями среди исходных <math>n</math> величин. Пи-теорема позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен.
+== Варианты названия ==
-== История ==
+В русскоязычной литературе по теории размерностей и моделированию обычно используется название ''пи-теорема'' (<math>\Pi</math>''-теорема'', <math>\pi</math>''-теорема'')<ref>{{книга|автор=Баренблатт Г. И.|заглавие=Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике|место=Л.|издательство=[[Гидрометеоиздат]]|год=1978|страниц=208|страницы=25}}</ref><ref>{{книга|автор=Седов Л. И.|заглавие=Методы подобия и размерности в механике|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sedov1977ru.djvu|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1981|страниц=448|страницы=31|archive-date=2014-12-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20141215072810/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Sedov1977ru.djvu}}</ref><ref>{{книга|автор=Бриджмен П.|заглавие=Анализ размерностей|ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/bridzhmen.djvu|место=Ижевск|издательство=РХД|год=2001|страниц=148|страницы=45|archive-date=2007-10-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20071027114412/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/bridzhmen.djvu}}</ref><ref>{{книга|автор=Хантли Г.|заглавие=Анализ размерностей|ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/Huntley.djvu|место=М.|издательство=[[Мир (издательство)|Мир]]|год=1970|страниц=176|страницы=6|archive-date=2014-02-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20140219085156/http://gidropraktikum.narod.ru/Huntley.djvu}} (предисловие к русскому изданию)</ref>, происходящее от традиционного обозначения безразмерных комбинаций с помощью (прописной или строчной) греческой буквы «[[Пи (буква)|пи]]». В англоязычной литературе теорему обычно связывают с именем [[Букингем, Эдгар|Эдгара Букингема]], а во франкоязычной — с именем {{нп5|Ваши, Эме|Эме Ваши́|fr|Aimé Vaschy}}.
+== Историческая справка ==
-'''π-теорема''' была опубликована {{Не переведено|:en:Edgar Buckingham|Бакингем, Эгдар|Эдгаром Бакингемом}} в [[1917 год]]у, а впоследствии и обобщена [[Вейль, Герман|Германом Вейлем]] в [[1926]]. Поэтому за рубежом она именуется «теорема Бакингема» (см. интервики), либо «теорема Ваши-Бакингема».
+По-видимому, впервые пи-теорема была доказана [[Бертран, Жозеф Луи Франсуа|Ж. Бертраном]]<ref>{{статья |автор=Bertrand J. |заглавие=Sur l'homogénété dans les formules de physique |ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/Bertrand-1878.djvu |издание=Comptes rendus |год=1878 |том=86 |номер=15 |страницы=916—920 |archivedate=2016-04-09 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20160409033832/http://www.gidropraktikum.narod.ru/Bertrand-1878.djvu }}</ref> в 1878 году. Бертран рассматривает частные примеры задач из электродинамики и теории теплопроводности, однако его изложение содержит в отчётливом виде все основные идеи современного доказательства пи-теоремы, а также ясное указание на применение пи-теоремы для моделирования физических явлений. Широкую известность методика применения пи-теоремы ({{lang-en|the method of dimensions}}) получила благодаря работам [[Стретт, Джон Уильям (лорд Рэлей)|Рэлея]] (первое применение пи-теоремы ''в общем виде''<ref>Когда после применения пи-теоремы возникает ''произвольная функция'' от безразмерных комбинаций.</ref> к зависимости падения давления в трубопроводе от определяющих параметров относится, вероятно, к 1892 году<ref>{{статья |автор=Rayleigh |заглавие=On the question of the stability of the flow of liquids |ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/Rayleigh-1892.djvu |издание=Philosophical magazine |год=1892 |том=34 |страницы=59—70 |archivedate=2021-04-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210413193327/http://gidropraktikum.narod.ru/Rayleigh-1892.djvu }}</ref>, эвристическое доказательство с использованием разложения в степенной ряд — к 1894 году<ref>{{книга |автор=Стретт Дж. В. (лорд Рэлей) |заглавие=Теория звука |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Relej_t2_1955ru.djvu |место=М. |издательство=ГИТТЛ |год=1955 |том=2 |страниц=476 |страницы=348 |archive-date=2014-12-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141215073152/http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Relej_t2_1955ru.djvu }}</ref>).
-== Теорема ==
+Формальное обобщение пи-теоремы на случай ''произвольного числа'' величин было впервые сформулировано Ваши́ в 1892 году<ref>{{статья |автор=Vaschy A. |заглавие=Sur les lois de similitude en physique |издание=Annales Télégraphiques |год=1892 |том=19 |страницы=25–28}} Цитаты из статьи Ваши с формулировкой пи-теоремы приводятся в статье: {{статья |автор=Macagno E. O. |заглавие=Historico-critical review of dimensional analysis |ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/Macagno-1971.djvu |издание=Journal of the Franklin Institute |год=1971 |выпуск=6 |том=292 |страницы=391—402 |archivedate=2021-04-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210413193345/http://gidropraktikum.narod.ru/Macagno-1971.djvu }}</ref>, а позже и, по-видимому, независимо — А. Федерманом<ref>{{статья |автор=Федерман А. |заглавие=О некоторых общих методах интегрирования уравнений с частными производными первого порядка |ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/Federman.djvu |издание=Известия Санкт-Петербургского политехнического института императора Петра Великого. Отдел техники, естествознания и математики |год=1911 |выпуск=1 |том=16 |страницы=97—155 |archivedate=2021-04-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210413193256/http://gidropraktikum.narod.ru/Federman.djvu }}</ref>, [[Рябушинский, Дмитрий Павлович|Д. Рябушинским]]<ref>{{статья |автор=Riabouchinsky D. |заглавие=Méthode des variables de dimension zéro et son application en aérodynamique |ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/Riabouchinsky-Aerophile-1911.djvu |издание=L’Aérophile |год=1911 |страницы=407–408 |archivedate=2021-04-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210413193053/http://gidropraktikum.narod.ru/Riabouchinsky-Aerophile-1911.djvu }}</ref> в 1911 году и Бакингемом<ref>{{статья |автор=Buckingham E. |заглавие=On physically similar systems: illustrations of the use of dimensional equations |ссылка=http://gidropraktikum.narod.ru/Buckingham.djvu |издание=Physical Review |год=1914 |том=4 |номер=4 |страницы=345—376 |archivedate=2014-04-26 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140426233716/http://gidropraktikum.narod.ru/Buckingham.djvu }}</ref> в 1914 году.
-Если дано физически значимое выражение:
+Впоследствии пи-теорема обобщена{{нет АИ|23|08|2012}} [[Вейль, Герман|Германом Вейлем]] в [[1926 год]]у.
+== Формулировка теоремы ==
-<math> f ( q_1, q_2, \ldots , q_n ) = 0 </math>,
+Для простоты ниже приводится формулировка для положительных величин <math>q_i</math>.
-где <math> q_i </math> — это ''n'' различных физических переменных и они выражаются через ''k'' независимых физических величин, то это выражение может быть переписано в виде:
+Предположим, что имеется зависимость между <math>n</math> физическими величинами <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_n</math>:
-<math> F ( {\pi}_1, {\pi}_2, \ldots , {\pi}_p ) = 0 </math>,
+:<math>f(q_1, q_2, \ldots, q_n) = 0,</math>
-где <math> {\pi}_i </math> — это безразмерные параметры, полученные из <math> q_i </math> при помощи ''p = n-k'' выражений следующего вида:
+вид которой не меняется при изменении масштабов единиц в выбранном классе систем единиц (например, если используется класс систем единиц LMT, то вид функции <math>f</math> не меняется при любых изменениях эталонов длины, времени и массы, скажем, при переходе от измерений в килограммах, метрах и секундах к измерениям в фунтах, дюймах и часах).
-<math> {\pi}_i = {q_1}^{m_1} \cdot {q_2}^{m_2} \cdot \ldots \cdot {q_n}^{m_n} </math>,
+Выберем среди аргументов функции ''наибольшую'' совокупность величин с ''независимыми размерностями'' (такой выбор можно, вообще говоря, производить различными способами). Тогда если число величин с независимыми размерностями обозначено <math>k</math> и они занумерованы индексами <math>1</math>, <math>2</math>, <math>\ldots</math>, <math>k</math> (в противном случае их можно перенумеровать), то исходная зависимость <math>f</math> эквивалентна зависимости между <math>p = n - k</math> безразмерными величинами <math>\pi_1</math>, <math>\pi_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>\pi_p</math>:
-где показатели степеней <math> m_i </math> — это [[Рациональное число|рациональные числа]].
+:<math>F(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_p) = 0,</math>
+где <math>\pi_p</math> — безразмерные комбинации, полученные из оставшихся исходных величин <math>q_{k+1}</math>, <math>q_{k+2}</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_n</math> делением на выбранные величины в соответствующих степенях:
+:<math>\pi_1 = \frac{q_{k+1}}{q_1^a \cdot q_2^b \cdot \ldots \cdot q_k^z},</math>
+:<math>\vdots</math>
+:<math>\pi_p = \frac{q_n}{q_1^A \cdot q_2^B \cdot \ldots \cdot q_k^Z}</math>
+(безразмерные комбинации всегда существуют потому, что <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_k</math> — совокупность размерно-независимых величин ''наибольшего'' размера, и при добавлении к ним ещё одной величины получается совокупность с зависимыми размерностями).
 == Доказательство ==
+Доказательство пи-теоремы очень простое<ref>''[[Сена, Лев Аронович|Сена Л. А.]]'' Единицы физических величин и их размерности. — М.: [[Наука (издательство)|Наука]], 1977. — С. 91—92.</ref>. Исходную зависимость <math>f</math> между <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_n</math> можно рассматривать как некоторую зависимость между <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_k</math> и <math>\pi_1</math>, <math>\pi_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>\pi_p</math>:
-Дана система из ''n'' размерных величин (физических величин) в ''k'' (физических) измерениях. Запишем [[Матрица (математика)|матрицу]] ''M''. Её строками будут измерения, а столбцами — физические величины: элемент ''(i, j)'' этой матрицы соответствует степени ''i''-го множителя в формуле размерности ''j''-й физической величины. Матрица может быть проинтерпретирована следующим образом:
+:<math>\Phi(q_1, q_2, \ldots, q_k, \pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_p) = 0,</math>
+причём вид функции <math>\Phi</math> также не меняется при изменении масштабов единиц. В силу размерной независимости величин <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_k</math> всегда можно выбрать такой масштаб единиц, что эти величины станут равными единице, в то время как <math>\pi_1</math>, <math>\pi_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>\pi_p</math>, будучи ''безразмерными'' комбинациями, своих значений не изменят, поэтому при так выбранном масштабе единиц, а значит, в силу инвариантности, и в любой системе единиц, функция <math>\Phi</math> фактически зависит только от <math>\pi_p</math>:
+:<math>\Phi(1, 1, \ldots, 1, \pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_p) \equiv H(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_p) = 0.</math>
+<!--
+Старый вариант:
+Дана система из ''n'' размерных величин (физических величин) в ''k'' (физических) измерениях. Запишем [[Матрица (математика)|матрицу]] ''M''. Её строками будут измерения, а столбцами — физические величины: элемент ''(i, j)'' этой матрицы соответствует степени ''i''-го множителя в формуле размерности ''j''-й физической величины. Матрица может быть проинтерпретирована следующим образом:
 столбцу
@@ Строка 41: / Строка 64: @@
 Безразмерные величины всегда могут быть выбраны таким образом, чтобы быть целочисленной комбинацией размерных величин. Это математический, иногда не самый лучший способ определения безразмерных величин. Некоторые способы выбора безразмерных величин более физически значимы (например, имеют смысл отношения характерных сил), и они должны использоваться в идеале.
+-->
+== Частные случаи ==
+=== Применение к уравнению, разрешенному относительно одной величины ===
+Часто используется вариант пи-теоремы для функциональной зависимости одной физической величины <math>q</math> от нескольких других <math>q_1</math>, <math>q_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>q_n</math>:
+:<math>q = f(q_1, q_2, \ldots, q_n).</math>
+В этом случае пи-теорема утверждает, что зависимость эквивалентна связи
+:<math>\pi = F(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_p),</math>
+где
+:<math> \pi = \frac{q}{q_1^\alpha \cdot q_2^\beta \cdot \ldots \cdot q_k^\omega},</math>
+а <math>\pi_i</math> определяются так же, как и выше.
+=== Случай, когда пи-теорема даёт вид зависимости с точностью до множителя ===
+В одном важном частном случае, когда в зависимости
+:<math>q = f(q_1, q_2, \ldots, q_n)</math>
+все аргументы имеют независимые размерности, применение пи-теоремы даёт
+:<math>\pi = \frac{q}{q_1^\alpha \cdot q_2^\beta \cdot \ldots \cdot q_k^\omega} = \text{const},</math>
+то есть вид функциональной зависимости определяется с точностью до константы. Значение константы методами теории размерностей не определяется, и для её нахождения нужно использовать экспериментальные или другие теоретические методы.
+== Замечания о применении пи-теоремы ==
+* Выбор аргументов с независимыми размерностями, вообще говоря, можно делать различными способами, в результате чего при применении пи-теоремы формально могут получаться разные выражения. Однако на самом деле получающиеся результаты эквивалентны, и из одной формы записи можно получить другую путём перехода к комбинациям безразмерных параметров.
+* В формулировке пи-теоремы требование инвариантности зависимости является важным. Если, например, при работе в [[СИ|Международной системе единиц (СИ)]] в эксперименте была получена зависимость пути <math>s</math>, пройденного падающим телом, от времени <math>t</math>
+:<math>s=\frac{9{,}81\cdot t^2}{2},</math>
+:то в таком виде она не удовлетворяет условиям пи-теоремы.
+== Применение пи-теоремы для физического моделирования ==
+Пи-теорема применяется для [[Физическое моделирование|физического моделирования]] различных явлений в [[аэродинамика|аэродинамике]], [[гидродинамика|гидродинамике]], [[теория упругости|теории упругости]], [[теория колебаний|теории колебаний]].
+Моделирование основано на том, что если для двух природных процессов («модельного» и «натурного», например, для потока воздуха вокруг модели самолёта в [[Аэродинамическая труба|аэродинамической трубе]] и потока воздуха вокруг реального самолёта) безразмерные аргументы (их называют [[критерии подобия]]) в зависимости
+:<math>\pi = F(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_p)</math>
+совпадают, что может быть осуществлено за счёт специального выбора параметров «модельного» объекта, то и безразмерные значения функции <math>\pi</math> также совпадают. Это позволяет «пересчитывать» размерные экспериментальные значения параметров от «модельного» объекта к «натурному», даже если вид функции <math>F</math> неизвестен. Если совпадения ''всех'' критериев подобия для «модельного» и «натурного» объектов достичь невозможно, то часто прибегают к приближённому моделированию, когда достигается подобие только по критериям, отражающим влияние наиболее существенных факторов, тогда как влияние второстепенных факторов учитывается приближённо на основе дополнительных соображений (не следующих из теории размерностей).
+== Примеры применения пи-теоремы ==
+;Частота колебаний колокола
+Излучение звука [[колокол]]ом происходит в результате его [[Собственные колебания|собственных колебаний]], которые могут описываться в рамках линейной [[теория упругости|теории упругости]]. Частота <math>f</math> издаваемого звука зависит от [[плотность|плотности]] <math>\rho</math>, [[модуль Юнга|модуля Юнга]] <math>E</math> и [[коэффициент Пуассона|коэффициента Пуассона]] <math>\nu</math> металла, из которого сделан колокол, и от конечного числа геометрических размеров <math>l_1</math>, <math>l_2</math>, <math>\ldots</math>, <math>l_N</math> колокола:
+:<math>f = F(\rho, E, \nu, l_1, l_2, \ldots, l_N).</math>
+Если используется класс систем единиц LMT, то в качестве величин с независимыми размерностями можно, например, выбрать <math>\rho</math>, <math>E</math> и <math>l_1</math> (выбранные величины, входящие в максимальную размерно-независимую подсистему, подчеркнуты):
+:<math>f = F(\underline{\rho}, \underline{E_\!}, \nu, \underline{l_1}, l_2, \ldots, l_N),</math>
+                                  <!-- ^^^^^^^^^ в реализации TeXa нет команды \vphantom -->
+и применение пи-теоремы даёт
+:<math>\frac{f l_1}{\sqrt{E/\rho}} = G\left(\nu, \frac{l_2}{l_1}, \frac{l_3}{l_1}, \ldots, \frac{l_N}{l_1}\right).</math>
+Если имеются два [[Подобие|геометрически подобных]] колокола из одного и того же материала, то для них аргументы функции <math>G</math> совпадают, поэтому отношение их частот обратно пропорционально отношению их размеров (или обратно пропорционально кубическому корню из отношения их масс). Эта закономерность подтверждается экспериментально<ref>{{статья |автор=Пухначёв Ю. |заглавие=Рассеяние, затухание, рефракция — три ключа к разгадке парадокса |издание=Наука и жизнь |год=1983 |номер=2 |страницы=117—118}}</ref>.
+Отметим, что если бы в качестве величин с независимыми размерностями были выбраны ''другие'' величины, например <math>\rho</math>, <math>E</math> и <math>l_2</math>, то применение пи-теоремы дало бы формально другой результат:
+:<math>\frac{f l_2}{\sqrt{E/\rho}} = H\left(\nu, \frac{l_1}{l_2}, \frac{l_3}{l_2}, \ldots, \frac{l_N}{l_2}\right),</math>
+но получаемые выводы остались бы, естественно, теми же.
+;Сопротивление при медленном движении шара в вязкой жидкости
+При медленном (при малых [[Число Рейнольдса|числах Рейнольдса]]) стационарном движении сферы в вязкой жидкости величина силы сопротивления <math>F</math> зависит от [[вязкость|вязкости]] жидкости <math>\mu</math>, а также от скорости <math>V</math> и радиуса <math>R</math> сферы (плотность жидкости не входит в число определяющих параметров, так как при малых скоростях влияние инерции жидкости пренебрежимо мало). Применяя к зависимости
+:<math>F = f(\mu, V, R)</math>
+:пи-теорему, получаем
+:<math>\frac{F}{\mu V R} = \text{const},</math>
+т. е. в этой задаче сила сопротивления находится с точностью до константы. Значение константы из соображений размерности не находится (решение соответствующей гидродинамической задачи даёт для константы значение <math>6\pi</math>, которое подтверждается экспериментально).
 == См. также ==
@@ Строка 46: / Строка 152: @@
 * [[Критерий подобия]], [[безразмерные числа]]
 * [[Размерность физической величины]]
-== Библиография ==
-* Buckingham, E. (1914). «On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations». Phys. Rev. 4: 345—376.
 == Ссылки ==
-* [http://www.gidropraktikum.narod.ru/pi-theorem-history.htm/ Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории пи-теоремы и теории подобия]
+* [http://www.gidropraktikum.narod.ru/pi-theorem-history.htm Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории пи-теоремы и теории подобия] {{Wayback|url=http://www.gidropraktikum.narod.ru/pi-theorem-history.htm |date=20210413193235 }}
+== Примечания ==
+<references/>
 {{Критерии подобия}}
@@ Строка 57: / Строка 164: @@
 [[Категория:Размерный анализ]]
 [[Категория:Физические теоремы]]
-[[ca:Teorema de Pi-Buckingham]]
-[[de:Buckinghamsches Π-Theorem]]
-[[en:Buckingham π theorem]]
-[[es:Teorema π de Vaschy-Buckingham]]
-[[fa:نظریه پی باکینگهام]]
-[[fi:Buckinghamin π-teoreema]]
-[[fr:Théorème de Vaschy-Buckingham]]
-[[it:Teorema di Buckingham]]
-[[nl:Buckingham-π-theorema]]
-[[pl:Twierdzenie Buckinghama]]
-[[pt:Teorema π de Vaschy-Buckingham]]
-[[sl:Buckinghamov izrek π]]

Безразмерные величины в физике
Понятия	Размерность физической величины Безразмерная величина π-Теорема Критерий подобия
Критерии подобия	Число Альфвена (Al) Число Архимеда (Ar) Число Атвуда (A) Число Багнольда (Ba) Число Берстоу (Be) Число Био (Bi) Число Больцмана (Bo) Число Бонда/Этвёша (Bo, Bd или Eo) Число Бринкмана (Br) Число Булыгина (Bu) Число Вайсенберга (Wi или We) Число Вебера (We) Число Галилея (Ga) Число Гартмана (Ha) Число Гей-Люссака (Gc или GaL) Число гомохронности (Ho) Число Грасгофа (Gr) Число Гретца (Gz) Число Гуше (Go) Число Дамкёлера (Da) Число Деборы (De) Число Дерягина (Dg или De) Число Дина (Dn или D) Число Каулинга (Co) Число капиллярности (Cp или Ca) Число Кармана (Ka) Число Келегана — Карпентера (K_C) Число Кибеля (Ki) Число Кирпичёва (Ki) Число Клаузиуса (Cl) Число Кнудсена (Kn) Число Коссовича (Ko) Число Коши (Ca) Число Лапласа (La) Число Лундквиста (Lu или S) Число Лыкова (Lk или Lu) Число Льюиса (Le) Число Лященко (Ly) Число Марангони (Mg) Число Маха (M) Число Мортона (Mo) Число Нуссельта (Nu) Число Ньютона (Ne или Nt) Число Онезорге (Oh) Число Пекле (Pe) Число Поснова (Pn) Число Прандтля (Pr) Магнитное число Прандтля (Pr_m) Турбулентное число Прандтля (Pr_t) Число Пуазёйля (Po) Число Рейнольдса (Re) Акустическое число Рейнольдса (Re_a) Магнитное число Рейнольдса (Re_m) Число Ричардсона (Ri) Число Россби (Ro) Число Роуза (Rs) Число Рошко (Rk или Ro) Число Руарка (Ru) Число Рэлея (Ra) Число Соре (Sr) Число Стэнтона (St) Число Стокса (Sk или Stk) Число Струхаля (S, Sh или St) Число Стюарта (St или N) Число Суратмана (Su) Число Тейлора (Ta) Число Уомерсли (Wo или α) Число Фёдорова в гидродинамике в теории сушки (Fe) Число Фруда (Fr) Число Фурье (Fo) Число Хагена (Hg) Число Чандрасекара (Ch или Q) Число Шмидта (Sc) Число Шервуда (Sh) Число Эйлера (Eu) Число Эккерта (Ec или E) Число Экмана (Ek) Число Элсассера (El или Λ) Число Эриксена (Er) Число Якоба (Ja)
Другие безразмерные величины	Число Аббе Квантовые числа

Пи-теорема: различия между версиями

Текущая версия от 06:40, 4 ноября 2024

Содержание

Варианты названия

Историческая справка

Формулировка теоремы

Доказательство

Частные случаи

Применение к уравнению, разрешенному относительно одной величины

Случай, когда пи-теорема даёт вид зависимости с точностью до множителя

Замечания о применении пи-теоремы

Применение пи-теоремы для физического моделирования

Примеры применения пи-теоремы

См. также

Ссылки

Примечания

Навигация

Пи-теорема: различия между версиями

Текущая версия от 06:40, 4 ноября 2024

Варианты названия

Историческая справка

Формулировка теоремы

Доказательство

Частные случаи

Применение к уравнению, разрешенному относительно одной величины

Случай, когда пи-теорема даёт вид зависимости с точностью до множителя

Замечания о применении пи-теоремы

Применение пи-теоремы для физического моделирования

Примеры применения пи-теоремы

См. также

Ссылки

Примечания

Навигация

Поиск