Кватернион: различия между версиями

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м Алгебраические свойства: ссылка на порядок группы
Элементарные функции: \hat \mathbf{u} -> \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} (обозначение \mathbf{u} не было ранее определено)
 
(не показаны 92 промежуточные версии 44 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{Универсальная карточка}}
'''Кватернио́ны''' (от {{lang-lat|quaterni}}, ''по четыре'') — система [[Гиперкомплексное число|гиперкомплексных чисел]], образующая [[векторное пространство]] [[Размерность пространства|размерностью]] четыре над [[Поле (алгебра)|полем]] [[вещественное число|вещественных чисел]].
'''Кватернио́ны''' (от {{lang-lat|quaterni}}, ''по четыре'') — система [[Гиперкомплексное число|гиперкомплексных чисел]], образующая [[векторное пространство]] [[Размерность пространства|размерностью]] четыре над [[Поле (алгебра)|полем]] [[вещественное число|вещественных чисел]].
Обычно обозначаются символом <math>\mathbb H</math>. Предложены [[Гамильтон, Уильям Роуан|Уильямом Гамильтоном]] в [[1843 год]]у.
Обычно обозначаются символом <math>\mathbb H</math>. Предложены [[Гамильтон, Уильям Роуан|Уильямом Гамильтоном]] в [[1843 год]]у.


Кватернионы удобны для описания [[Изометрия (математика)|изометрий]] трёх- и четырёхмерного [[Евклидово пространство|евклидовых пространств]], и поэтому получили широкое распространение в [[механика|механике]].
Кватернионы удобны для описания [[Изометрия (математика)|изометрий]] трёх- и четырёхмерного [[Евклидово пространство|евклидовых пространств]] и поэтому получили широкое распространение в [[механика|механике]]. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики<ref>[http://wat.gamedev.ru/articles/quaternions Кватернионы в программировании игр] {{Wayback|url=http://wat.gamedev.ru/articles/quaternions |date=20090725092721 }} ([[GameDev.ru]])</ref>.
Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.<ref>[http://wat.gamedev.ru/articles/quaternions Кватернионы в программировании игр] ([[GameDev.ru]])</ref>


[[Анри Пуанкаре]] писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию [[Общая алгебра|алгебры]]; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям [[Матрица (математика)|матрицы]] и [[Линейное отображение|линейного оператора]], пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевский]] в геометрии»<ref>{{статья|автор=Полак Л. С. |заглавие=Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения) |издательство=АН СССР |издание=Труды Института истории естествознания |год=1956 |том=15 (История физ.-мат. наук) |страницы=273. }}</ref>.
[[Анри Пуанкаре]] писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию [[Общая алгебра|алгебры]]; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям [[Матрица (математика)|матрицы]] и [[Линейное отображение|линейного оператора]], пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал [[Лобачевский, Николай Иванович|Лобачевский]] в [[Геометрия Лобачевского|геометрии]]»<ref>{{статья|автор=Полак Л. С. |заглавие=Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения) |издательство=АН СССР |издание=Труды Института истории естествознания |год=1956 |том=15 (История физ.-мат. наук) |страницы=273. }}</ref>.


== Определения ==
== Определения ==


=== Стандартное ===
=== Стандартное ===
Кватернионы можно определить как сумму
Кватернионы можно определить как формальную сумму <math>a+bi+cj+dk,</math> где <math>a, b, c, d</math> — вещественные числа, а <math>i, j, k</math> — ''[[Мнимая единица|мнимые единицы]]'' со следующим свойством: <math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>. Таким образом<!-- следовательно -->, таблица умножения ''[[базис]]ных кватернионов'' — <math>1, i, j, k</math> — выглядит так:
: <math>q=a+bi+cj+dk</math>

где <math>a, b, c, d</math> — вещественные числа
<math>
[[File:Quaternion-multiplication-cayley-3d-with-legend.png|thumb|350px|Графическое представление таблицы умножения базисных кватернионов (цвет шара определяет первый множитель, цвет выходящей стрелки - второй множитель, стрелка указывает на результат умножения)]]
\begin{matrix}
: <math>i, j, k</math> — ''[[Мнимая единица|мнимые единицы]]'' со следующим свойством: <math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>, при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является [[коммутативная операция|коммутативным]]): <math>ij=k</math>, a <math>ji=-k</math>.
& \times & \mathbf1 & \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
<center>
& \mathbf1 & \,1 & \,i & \,j & \,k \\
{| class="wikitable"
& \mathbf{i} & \,i & \,-1 & \,k & \,-j \\
|+ Таблица умножения базисных кватернионов <math>1, i, j, k</math>
& \mathbf{j} & \,j & \,-k & \,-1 & \,i \\
!X
& \mathbf{k} & \,k & \,j & \,-i & \,-1 \\
!1
\end{matrix}
!i
</math>
!j

!k
Например, <math>ij=k</math>, a <math>ji=-k</math>.
|-
|'''1'''
|1
|i
|j
|k
|-
|'''i'''
|i
| -1
|k
| -j
|-
|'''j'''
|j
| -k
| -1
|i
|-
|'''k'''
|k
|j
| -i
| -1
|}
</center>


=== Как вектор и скаляр ===
=== Как вектор и скаляр ===
Строка 28: Строка 54:


Операции сложения определены следующим образом:
Операции сложения определены следующим образом:
: <math>\left(a, \vec{u} \right)+ \left(b , \vec{v}\right)= \left(a + b , \vec{u} + \vec{v}\right) </math>
: <math>\left(a, \vec{u} \right)+ \left(b , \vec{v}\right)= \left(a + b , \vec{u} + \vec{v}\right). </math>
Произведение определяется следующим образом:
Произведение определяется следующим образом:
: <math>\left(a, \vec{u}\right)\left(b, \vec{v}\right)= \left(ab - \vec{u}\cdot\vec{v}, a\vec{v} + b\vec{u} + \vec{u}\times\vec{v}\right)</math>
: <math>\left(a, \vec{u}\right)\left(b, \vec{v}\right)= \left(ab - \vec{u}\cdot\vec{v}, a\vec{v} + b\vec{u} + \vec{u}\times\vec{v}\right),</math>
где <math>\cdot</math> обозначает [[скалярное произведение]], а <math>\times</math> — [[векторное произведение]].
где <math>\cdot</math> обозначает [[скалярное произведение]], а <math>\times</math> — [[векторное произведение]].


В частности,
В частности:
: <math>\left(a, 0\right)\left(0, \vec{v}\right)=\left(0, \vec{v}\right)\left(a, 0 \right)= \left(0, a\vec{v}\right)</math>
: <math>\left(a, 0\right)\left(0, \vec{v}\right)=\left(0, \vec{v}\right)\left(a, 0 \right)= \left(0, a\vec{v}\right),</math>
: <math>\left(a, 0\right)\left(b, 0\right)=\left(ab, 0\right)</math>
: <math>\left(a, 0\right)\left(b, 0\right)=\left(ab, 0\right),</math>
: <math>\left(0, \vec{u} \right)\left(0, \vec{v}\right)= \left( - \vec{u}\cdot\vec{v} , \vec{u}\times\vec{v}\right)</math>
: <math>\left(0, \vec{u} \right)\left(0, \vec{v}\right)= \left( - \vec{u}\cdot\vec{v} , \vec{u}\times\vec{v}\right).</math>


Заметим, что:
Заметим, что:
Строка 71: Строка 97:
*: <math>
*: <math>
\left|q \right| ^ 4 =
\left|q \right| ^ 4 =
\det Q
\det Q.
</math>.
</math>


==== Комплексными матрицами ====
==== Комплексными матрицами ====
Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:
Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой{{sfn|Stillwell|2008|p=7}}:
: <math>\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix},</math>
: <math>\begin{pmatrix} \;\;\alpha & \beta \\ -\bar \beta & \bar \alpha \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \;\;a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix},</math>
здесь <math>\bar \alpha</math> и <math>\bar \beta</math> обозначают комплексно-сопряжённые числа к <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>.
здесь <math>\bar \alpha</math> и <math>\bar \beta</math> обозначают комплексно-сопряжённые числа к <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>.
Строка 89: Строка 115:
*: <math>
*: <math>
\left|q \right| ^ 2 =
\left|q \right| ^ 2 =
\det Q
\det Q.
</math>.
</math>


== Связанные объекты и операции ==
== Связанные объекты и операции ==
Строка 99: Строка 125:


=== Сопряжение ===
=== Сопряжение ===
Для кватерниона <math>q.</math> ''сопряжённым'' называется:
Для кватерниона <math>q</math> ''сопряжённым'' называется{{sfn|Stillwell|2008|p=9}}:
: <math>\bar q=a-bi-cj-dk</math>
: <math>\bar q=a-bi-cj-dk.</math>


Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:
Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке{{sfn|Stillwell|2008|p=10}}:
: <math> \overline {pq} = \bar q \bar p </math>
: <math> \overline {pq} = \bar q \bar p. </math>


Для кватернионов справедливо равенство
Для кватернионов справедливо равенство
: <math> \overline {p} =-\frac 12 (p+ipi+jpj+kpk) </math>
: <math> \overline {p} =-\frac 12 (p+ipi+jpj+kpk). </math>


=== Модуль ===
=== Модуль ===
Так же, как и для комплексных чисел,
Так же, как и для комплексных чисел{{sfn|Stillwell|2008|p=8}},
: <math> \left|q \right| =\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math>
: <math> \left|q \right| =\sqrt{q\bar q}=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math>


Строка 125: Строка 151:


=== Обращение умножения (деление) ===
=== Обращение умножения (деление) ===
Кватернион, обратный по умножению к <math>q</math>, вычисляется так:
Кватернион, обратный по умножению к <math>q</math>, вычисляется так{{sfn|Stillwell|2008|p=9}}:
<math> q^{-1} = \frac {\bar q} {\left|q \right| ^ 2} </math>.
<math> q^{-1} = \frac {\bar q} {\left|q \right| ^ 2} </math>.


== Алгебраические свойства ==
== Алгебраические свойства ==
Множество кватернионов является примером [[Тело (алгебра)|тела]], то есть кольца с делением и единицей.
Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению
[[группа (математика)|группу]] кватернионов ([[порядок группы|порядка]] 8).
Обозначается:
: <math> Q_8 = \left\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \right\} </math>.

Множество кватернионов является примером кольца с делением.

Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением
Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением
над полем вещественных (но не комплексных) чисел. Вообще
над полем вещественных (но не комплексных) чисел.

По [[Теорема Фробениуса|теореме Фробениуса]] тела
<math> \mathbb R</math>, <math> \mathbb C</math>, <math> \mathbb H</math>
<math> \mathbb R</math>, <math> \mathbb C</math>, <math> \mathbb H</math>
являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением
являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением
над полем вещественных чисел<ref> [[Теорема Фробениуса]]</ref>.
над полем вещественных чисел.


Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям.
Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям.
Строка 147: Строка 169:
q^2 + 1 = 0 </math>
q^2 + 1 = 0 </math>
имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.
имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению
[[группа (математика)|группу]] кватернионов ([[порядок группы|порядка]] 8).
Обозначается:
: <math> Q_8 = \left\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \right\}. </math>


== Кватернионы и повороты пространства ==
== Кватернионы и повороты пространства ==
Строка 152: Строка 179:
[[Файл:Rotating gimbal-xyz.gif|thumb|240px|Организация [[Шесть степеней свободы|трёх степеней свободы]], но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец]]
[[Файл:Rotating gimbal-xyz.gif|thumb|240px|Организация [[Шесть степеней свободы|трёх степеней свободы]], но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец]]


Кватернионы, рассматриваемые как [[Алгебра над полем|алгебра]] над <math>\scriptstyle\Bbb R</math>, образуют четырёхмерное вещественное [[векторное пространство]]. Любой поворот этого пространства относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>q\mapsto \xi q \zeta</math>, где <math>\xi</math> и <math>\zeta</math> — пара единичных кватернионов, при этом пара <math>\left(\xi,\zeta\right)</math> определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — <math>\left(\xi,\zeta\right)</math> и <math>\left(-\xi,-\zeta\right)</math>. Из этого следует, что [[группа Ли]] <math>\text{SO}\left(\R,4\right)</math> [[поворот]]ов <math>\R^4</math> есть [[факторгруппа]] <math>S^3\times S^3/\Z_2</math>, где <math>S^3</math> обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.
Кватернионы, рассматриваемые как [[Алгебра над полем|алгебра]] над <math>\mathbb R</math>, образуют четырёхмерное вещественное [[векторное пространство]]. Любой поворот этого пространства относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>q\mapsto \xi q \zeta</math>, где <math>\xi</math> и <math>\zeta</math> — пара единичных кватернионов, при этом пара <math>\left(\xi,\zeta\right)</math> определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — <math>\left(\xi,\zeta\right)</math> и <math>\left(-\xi,-\zeta\right)</math>. Из этого следует, что [[группа Ли]] <math>\text{SO}\left(\R,4\right)</math> [[поворот]]ов <math>\R^4</math> есть [[факторгруппа]] <math>S^3\times S^3/\Z_2</math>, где <math>S^3</math> обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.


Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>u\mapsto \xi u \bar\xi</math>, где <math>\xi</math> — некоторый единичный кватернион. Соответственно, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)=S^3/\Z_2</math>, в частности, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)</math> [[диффеоморфизм|диффеоморфно]] <math>\R \mathrm{P}^3</math>.
Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>u\mapsto \xi u \bar\xi</math>, где <math>\xi</math> — некоторый единичный кватернион. Соответственно, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)=S^3/\Z_2</math>, в частности, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)</math> [[диффеоморфизм|диффеоморфно]] <math>\R \mathrm{P}^3</math>.
Строка 160: Строка 187:
\left\|z \right\| = \left |z \right | ^ 2 </math>.
\left\|z \right\| = \left |z \right | ^ 2 </math>.


''Целыми'' [[:de:Hurwitzquaternion|по Гурвицу]] (также [[:en:Hurwitz quaternion|engl]]) принято называть кватернионы <math>a + bi + cj + dk</math> такие, что все <math>2a, 2b, 2c, 2d</math> — [[целое число|целые]] и одинаковой чётности.
''Целыми'' [[Кватернион Гурвица|по Гурвицу]] принято называть кватернионы <math>a + bi + cj + dk</math> такие, что все <math>2a, 2b, 2c, 2d</math> — [[целое число|целые]] и одинаковой чётности.


Целый кватернион называется
Целый кватернион называется
Строка 174: Строка 201:
=== Целые единичные кватернионы ===
=== Целые единичные кватернионы ===
Существует 24 целых единичных кватерниона:
Существует 24 целых единичных кватерниона:
: <math> \pm 1</math>; <math> \pm i</math>; <math> \pm j</math>; <math> \pm k</math>; <math> \frac {\pm 1 \pm i \pm j \pm k } {2} </math>.
: <math> \pm 1</math>; <math> \pm i</math>; <math> \pm j</math>; <math> \pm k</math>; <math> \frac {\pm 1 \pm i \pm j \pm k } {2}. </math>
Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного -мерного многогранника — [[Двадцатичетырёхячейник|3-кубооктаэдра]] (не путать с -мерным многогранником-[[кубооктаэдр]]ом).
Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4-мерного многогранника — [[Двадцатичетырёхъячейник|3-кубооктаэдра]] (не путать с 3-мерным многогранником-[[кубооктаэдр]]ом).


=== Разложение на простые сомножители ===
=== Разложение на простые сомножители ===
Строка 182: Строка 209:
'''Теорема.'''<ref>
'''Теорема.'''<ref>
{{cite web
{{cite web
| author = John C. Baez.
|author = John C. Baez.
| authorlink =
|authorlink =
| datepublished =
|datepublished =
| url = http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/conway_smith/
|url = http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/conway_smith/
| title = On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith
|title = On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith
| work =
|work =
| publisher =
|publisher =
| accessdate = 2009-02-07
|accessdate = 2009-02-07
| lang = en
|lang = en
| description = Review
|description = Review
| archiveurl = http://www.webcitation.org/618OftMR3
|archiveurl = https://www.webcitation.org/618OftMR3?url=http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/conway_smith/
| archivedate = 2011-08-22
|archivedate = 2011-08-22
}}
}}
</ref>
</ref>
Строка 228: Строка 255:
: <math>
: <math>
\operatorname {sgn}\, q =
\operatorname {sgn}\, q =
\frac {q} {\left|q \right|}
\frac {q} {\left|q \right|}.
</math>.
</math>


Аргумент кватерниона — это угол поворота четырёхмерного вектора, который отсчитывается от вещественной единицы:
Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:


: <math> \arg q = \arccos \frac {a} {\left|q \right|} </math>.
: <math> \arg q = \arccos \frac {a} {\left|q \right|}. </math>


В дальнейшем используется представление заданного кватерниона <math>q</math> в виде
В дальнейшем используется представление заданного кватерниона <math>q</math> в виде
: <math>q = a + \left| \mathbf{u} \right| \mathrm{i} = \left| q \right| \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\mathrm{arg}\,q}</math>
: <math>q = a + \left| \mathbf{u} \right| \mathrm{i} = \left| q \right| \mathrm{e}^{\mathrm{i}\,\mathrm{arg}\,q}.</math>


Здесь <math>a</math> — вещественная часть кватерниона, <math>\mathrm{i} = \left| \mathbf{u} \right|^{-1} \mathbf{u}</math>. При этом <math>\mathrm{i}^2 = -1</math>, поэтому проходящая через <math>q</math> и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид <math>a+b\mathrm{i}</math> для фиксированного единичного вектора <math>\mathrm{i}</math>. В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.
Здесь <math>a</math> — вещественная часть кватерниона, <math>\mathrm{i} = \left| \mathbf{u} \right|^{-1} \mathbf{u}</math>. При этом <math>\mathrm{i}^2 = -1</math>, поэтому проходящая через <math>q</math> и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид <math>a+b\mathrm{i}</math> для фиксированного единичного вектора <math>\mathrm{i}</math>. В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.
Строка 246: Строка 273:


: <math>
: <math>
\exp q = \exp a \left(
\mathrm{e}^q = \mathrm{e}^a \left(
\cos \left|\mathbf{u} \right| + \sin \left| \mathbf{u} \right| \hat{\mathbf{u}}
\cos \left|\mathbf{u} \right| + \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \sin \left| \mathbf{u} \right|
\right)
\right)
</math>
</math>


: <math>
: <math>
\ln q = \ln \left|q \right| + \arg q\, \hat{\mathbf{u}}
\ln q = \ln \left|q \right| + \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \arg q
</math>
</math>


Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до <math>2\pi \hat{\mathbf{u}}</math>.
Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до <math>2\pi \frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|}</math>.


; Тригонометрические функции
; Тригонометрические функции
Строка 265: Строка 292:
\operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right|
\operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right|
+
+
\cos a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right| \hat{\mathbf{u}}
\frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \cos a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right|
</math>
</math>


Строка 274: Строка 301:
\operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right|
\operatorname {ch} \left|\mathbf{u} \right|
-
-
\sin a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right| \hat{\mathbf{u}}
\frac{\mathbf{u}}{\left| \mathbf{u} \right|} \sin a \, \operatorname {sh} \left|\mathbf{u} \right|
</math>
</math>


Строка 281: Строка 308:
= \frac{\sin q}{\cos q}
= \frac{\sin q}{\cos q}
</math>
</math>

=== Линейное отображение ===
Отображение <math>f:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math>
алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства
: <math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math>
: <math>f(ax)=af(x)</math>
: <math>x,y\in\mathbb H, a\in\mathbb R</math>
где <math>\mathbb R</math> — поле действительных чисел.
Если <math>f</math> является линейным отображением алгебры кватернионов,
то для любых <math>a, b\in\mathbb H</math> отображение
: <math>(afb)(x)=af(x)b</math>
является линейным отображением.
Если <math>f</math> — тождественное отображение (<math>f(x)=x</math>),
то для любых <math>a, b\in\mathbb H</math>
мы можем отождествить [[тензорное произведение]] <math>a\otimes b</math> с отображением
: <math>(a\otimes b)\circ x=axb</math>
Для любого линейного отображения
<math>f:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math>
существует [[тензор]] <math>a\in\mathbb H\otimes\mathbb H</math>,
<math>a=a_{s0}\otimes a_{s1}</math>,
такой, что
: <math>f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1}</math>
В приведённых выше равенствах предполагается суммирование по индексу <math>s</math>.
Поэтому мы можем отождествить линейное отображение <math>f</math>
и тензор <math>a</math>.


=== Регулярные функции ===
=== Регулярные функции ===
Строка 300: Строка 352:
University of York, 1977.</ref>.
University of York, 1977.</ref>.


=== Дифференцирование отображений ===
=== Производная Гато ===
{{main|Кватернионный анализ}}
{{main|Кватернионный анализ}}


Непрерывное отображение
[[Производная Гато]] функции кватернионного переменного
<math>f:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math>
определена согласно формуле
называется дифференцируемым
: <math>\partial f(x)(a)=\lim_{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))</math>
на множестве <math>U\subset \mathbb H</math>,
если в каждой точке <math>x\in U</math>
изменение отображения <math>f</math> может быть представлено в виде
: <math>f(x+h)-f(x)=\frac{d f(x)}{d x}\circ h+o(h)</math>
где
: <math>\frac{d f(x)}{d x}:\mathbb H\rightarrow\mathbb H</math>
линейное отображение алгебры кватернионов <math>\mathbb H</math> и
<math>o:\mathbb H\rightarrow \mathbb H</math>
такое непрерывное отображение, что
: <math>\lim_{a\rightarrow 0}\frac{|o(a)|}{|a|}=0</math>
Линейное отображение
<math>\frac{d f(x)}{d x}</math>
называется производной отображения <math>f</math>.


Производная может быть представлена в
Производная Гато является [[Аддитивное отображение|аддитивным отображением]]
виде<ref>Выражение <math>\frac{d_{sp} f(x)}{d x} </math>
приращения аргумента и может быть представлена в
не является дробью и должно восприниматься как единый символ.
виде<ref>Выражение <math>\frac{{}_{(s)p}\partial f(x)}{\partial x} </math>
Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной.
не является дробью и должно восприниматься как символ оператора.
Значение выражения <math>\frac{d_{sp} f(x)}{d x} </math> при заданном <math>x</math>
Данное обозначение предложено для того, чтобы сохранить преемственность
является кватернионом.</ref>
с классическим анализом.</ref>
: <math>\partial f(x)(dx)=
: <math>\frac{d f(x)}{d x}=
\frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}
\frac{d_{s0} f(x)}{d x}
\otimes
\frac{d_{s1} f(x)}{d x}
</math>
Соответственно дифференциал отображения <math>f</math> имеет вид
: <math>df=\frac{d f(x)}{d x}\circ dx=
\left(
\frac{d_{s0} f(x)}{d x}
\otimes
\frac{d_{s1} f(x)}{d x}\right)\circ dx=
\frac{d_{s0} f(x)}{d x}
dx
dx
\frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}
\frac{d_{s1} f(x)}{d x}
</math>
</math>


Здесь предполагается суммирование по индексу <math>s</math>. Число слагаемых
Здесь предполагается суммирование по индексу <math>s</math>. Число слагаемых
зависит от выбора функции <math>f</math>. Выражения
зависит от выбора функции <math>f</math>. Выражения
<math>\frac{{}_{(s)0}\partial f(x)}{\partial x}</math> и
<math>\frac{d_{s0}d f(x)}{d x}</math> и
<math>\frac{{}_{(s)1}\partial f(x)}{\partial x}</math> называются
<math>\frac{d_{s1} f(x)}{d x}</math> называются
компонентами производной.
компонентами производной.

Для произвольного кватерниона <math>a</math> верно равенство
: <math>\frac{d f(x)}{d x}\circ a=\lim_{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))</math>


== Виды умножений ==
== Виды умножений ==
Строка 331: Строка 409:


=== Евклидово умножение ===
=== Евклидово умножение ===
Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: <math>\bar p q</math>.
Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берётся сопряжённый к нему: <math>\bar p q</math>.
Оно также некоммутативно.
Оно также некоммутативно.


Строка 363: Строка 441:


== Из истории ==
== Из истории ==
[[Файл:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|thumb|<center>Памятная табличка на мосту Брум Бридж в [[Дублин]]е: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр [[Гамильтон, Уильям Роуан|Уильям Роуэн Гамильтон]] открыл формулу перемножения кватернионов»<ref>В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (''Л. С. Полак'' Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104) </ref></center>]]
[[Файл:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|thumb|<center>Памятная табличка на мосту Брум Бридж в [[Дублин]]е: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр [[Гамильтон, Уильям Роуан|Уильям Роуэн Гамильтон]] открыл формулу перемножения кватернионов»<ref>В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (''Л. С. Полак'' Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)</ref></center>]]


Система кватернионов была впервые опубликована [[Гамильтон, Уильям Роуан|Гамильтоном]] в [[1843 год]]у. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях [[Карл Гаусс|Гаусса]], относящихся к [[1819]]—[[1820 год]]ам<ref>{{книга |автор=[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]. |заглавие=Архитектура математики. Очерки по истории математики |место=М. |издательство=Иностранная литература |год=1963 |страницы=68 }}</ref>. Также кватернионы рассматривал Эйлер. [[Родриг, Олинд|Б. О. Родриг]] (1840 год) при рассмотрении поворотов абсолютно твёрдого тела вывел правила умножения кватернионов<ref>{{статья |автор = Rodrigues Olinde |заглавие = Геометрические законы, управляющие перемещениями твёрдой системы в пространстве, и изменение координат, возникающее в результате этих перемещений, рассматриваемые независимо от причин, которые могут их вызвать|оригинал = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire|ссылка = https://books.google.com/books?id=f9ZGAAAAcAAJ&pg=PA380|издание = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|год =1840 |том = 5|страницы = 380—440 |doi = |pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = }}</ref>{{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=5}}.
Система кватернионов была впервые опубликована [[Гамильтон, Уильям Роуан|Гамильтоном]] в [[1843 год]]у.
Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях [[Карл Гаусс|Гаусса]], относящихся к [[1819]]—[[1820 год]]ам.<ref>{{книга
|автор=[[Николя Бурбаки|Бурбаки Н.]]. |заглавие=Архитектура математики. Очерки по истории математики
|место=М. |издательство=Иностранная литература |год=1963 |страницы=68 }}</ref>


Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в [[XIX век]]е стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам [[комплексное число|комплексным]], но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.
Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам [[комплексное число|комплексным]], но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной{{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=5}}.


Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильямом Гамильтоном]] в [[1843 год]]у, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа ''кватернионами''. Позднее [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениус]] строго доказал ([[1877]]) [[Теорема Фробениуса|теорему]], согласно которой расширить комплексное [[Поле (алгебра)|поле]] до поля или [[Тело (алгебра)|тела]] с двумя мнимыми единицами невозможно.
Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильямом Гамильтоном]] (который также занимался указанной задачей) в [[1843 год в науке|1843 году]], и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон работал сначала с ''дуплетами'' (точками на плоскости) и легко получил правила для умножения соответствующие комплексным числам, но для точек в пространстве (''триплеты'') не мог получить никакой формулы умножения для таких наборов. В конце концов решил попробовать ''четвёрки'' — точки в четырёхмерном пространстве. Эти числа Гамильтон назвал ''кватернионами''{{sfn|Мищенко и Соловьёв|1983|с=11—12}}. Позднее [[Фробениус, Фердинанд Георг|Фробениус]] строго доказал (1877) [[Теорема Фробениуса|теорему]], согласно которой расширить комплексное [[Поле (алгебра)|поле]] до поля или [[Тело (алгебра)|тела]] с двумя мнимыми единицами невозможно{{sfn|Мищенко и Соловьёв|1983|с=15}}.


Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]] использовал компактную кватернионную запись для формулировки [[Уравнения Максвелла|своих уравнений]] электромагнитного поля.<ref>''А. Н. Крылов'' [http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/BIO/KRYLOV/KRYLOV_23.HTM Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.]</ref> Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный [[векторный анализ]] ([[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббс]], [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]]).
Развитие кватернионов и их приложений в физике следовало по трём путям, связанным с алгебраическим подходом, апологетами которого выступали [[Кэли, Артур|Кэли]], который в 1858 году открыл матричное представление кватернионов{{sfn|Stillwell|2008|p=10}}, [[Клиффорд, Уильям Кингдон|Клиффорд]], [[Пирс, Бенджамин|Б. Пирс]], [[Пирс, Чарльз Сандерс|Ч. Пирс]] и Фробениус; с теорией комплексных кватернионов, представителями которого были Клиффорд, [[Штуди, Эдуард|Штуди]] и [[Котельников, Александр Петрович|Котельников]]; с физикой из-за имён Максвелла и Хэвисайда{{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=6—8}}. Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвелл]] использовал компактную кватернионную запись для формулировки [[Уравнения Максвелла|своих уравнений]] электромагнитного поля.<ref>''А. Н. Крылов'' [http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/BIO/KRYLOV/KRYLOV_23.HTM Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.] {{Wayback|url=http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/BIO/KRYLOV/KRYLOV_23.HTM |date=20170503043859 }}</ref> Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный [[векторный анализ]] ([[Гиббс, Джозайя Уиллард|Гиббс]], [[Хевисайд, Оливер|Хевисайд]]){{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=8}}. Применение кватернионов было вытеснено векторным анализом из уравнений электродинамики. Впрочем тесная связь уравнений Максвелла с кватернионами не исчерпывается только электродинамикой, поскольку была построена теория СТО с использованием кватернионов {{нп3|Конвей, Артур Уильям|А. У. Конвеем|en|Arthur William Conway}} и {{нп3|Зильберштейн, Людвиг|Зильберштейном|pl|Ludwik Silberstein}}{{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=9}}. Послевоенный период применения кватернионов в физике связан с широким применением теории групп и их представлений в физике элементарных частиц. Также возможно заменить стандартное гильбертово пространство квантовой механики на его определение над телом кватернионов{{sfn|Березин, Курочкин и Толкачёв|2003|с=10}}.


== Современное применение ==
== Современное применение ==
В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в [[квантовая механика|квантовой механике]]<ref>{{книга|автор=Курочкин Ю. А. |заглавие=Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109|издание=ИФ АН БССР |год=1976}}</ref> и [[теория относительности|теории относительности]]<ref name=ALEX>{{книга|автор=Александрова Н. В. |часть=Исчисление кватернионов Гамильтона |заглавие=''Гамильтон У. Р.'' Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы |издательство=Наука |место=М. |год=1994 |серия=Классики науки}}— С. 519—534.</ref>. Реальное применение кватернионы нашли в современной [[компьютерная графика|компьютерной графике и программировании игр]]<ref>{{книга|автор=Побегайло А. П.|заглавие=Применение кватернионов в компьютерной гео­метрии и графике|место=Минск|издательство=Изд-во БГУ |год=2010 |страниц=216 |isbn=978-985-518-281-9 }}.</ref>, а также в [[вычислительная механика|вычислительной механике]]<ref name="wittenburg">{{книга|автор=Виттенбург Й.|заглавие=Динамика систем твёрдых тел|место=М.|издательство=Мир|год=1980|страниц=292}} — С. 25—26, 34—36.</ref><ref name="pogorelov">{{книга|автор=Погорелов Д. Ю.|заглавие=Введение в моделирование динамики систем тел|место=Брянск|издательство=Изд-во БГТУ|год=1997|страниц=156|isbn=5-230-02435-6}}. — С. 22—26, 31—36.</ref>, в [[инерциальная навигация|инерциальной навигации]] и [[теория управления|теории управления]]<ref>{{книга|автор=[[Ишлинский, Александр Юльевич|Ишлинский А. Ю.]]|заглавие=Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация|место=М.|издательство=Наука|год=1976|страниц=672}} — С. 87—103, 593—604.</ref><ref>{{cite web|url=http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/366/ru/pdf/07-10.pdf|title=Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени|last=Чуб В. Ф.|accessdate=2013-12-09}}</ref>. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»<ref>[http://hypercomplex.xpsweb.com/section.php?lang=ru&genre=3 Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»]</ref>.
В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в [[квантовая механика|квантовой механике]]<ref>{{книга|автор=Курочкин Ю. А. |заглавие=Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109|издание=ИФ АН БССР |год=1976}}</ref> и [[теория относительности|теории относительности]]<ref name=ALEX>{{книга|автор=Александрова Н. В. |часть=Исчисление кватернионов Гамильтона |заглавие=''Гамильтон У. Р.'' Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы |издательство=Наука |место=М. |год=1994 |серия=Классики науки}}— С. 519—534.</ref>. Реальное применение кватернионы нашли в современной [[компьютерная графика|компьютерной графике и программировании игр]]<ref>{{книга|автор=Побегайло А. П.|заглавие=Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике|место=Минск|издательство=Издательство БГУ |год=2010 |страниц=216 |isbn=978-985-518-281-9 }}.</ref>, а также в [[вычислительная механика|вычислительной механике]]<ref name="wittenburg">{{книга|автор=Виттенбург Й.|заглавие=Динамика систем твёрдых тел|место=М.|издательство=Мир|год=1980|страниц=292}} — С. 25—26, 34—36.</ref><ref name="pogorelov">{{книга|автор=Погорелов Д. Ю.|заглавие=Введение в моделирование динамики систем тел|место=Брянск|издательство=Издательство БГТУ|год=1997|страниц=156|isbn=5-230-02435-6}}. — С. 22—26, 31—36.</ref>, в [[инерциальная навигация|инерциальной навигации]] и [[теория управления|теории управления]]<ref>{{книга|автор=[[Ишлинский, Александр Юльевич|Ишлинский А. Ю.]]|заглавие=Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация|место=М.|издательство=Наука|год=1976|страниц=672}} — С. 87—103, 593—604.</ref><ref>{{cite web|url=http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/366/ru/pdf/07-10.pdf|title=Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени|last=Чуб В. Ф.|accessdate=2013-12-09|archive-date=2013-12-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20131213142532/http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/366/ru/pdf/07-10.pdf|deadlink=no}}</ref>. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»<ref>{{Cite web |url=http://hypercomplex.xpsweb.com/section.php?lang=ru&genre=3 |title=Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» |access-date=2014-03-13 |archive-date=2016-09-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160926203312/http://hypercomplex.xpsweb.com/section.php?lang=ru&genre=3 |deadlink=no }}</ref>.


Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется [[Матрица (математика)|матричное исчисление]]<ref>{{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Лекции о развитии математики в XIX столетии |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu |том=I |издательство=ГОНТИ |место=М.-Л. |год=1937 |страницы=229—231. |страниц=432}}</ref>. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи ''минимального'' числа скалярных параметров, использование [[параметры Родрига — Гамильтона|параметров Родрига — Гамильтона]] (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, [[углы Эйлера|углами Эйлера]]) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается<ref name="wittenburg" /><ref name="pogorelov" />.
Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется [[Матрица (математика)|матричное исчисление]]<ref>{{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Лекции о развитии математики в XIX столетии |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu |том=I |издательство=ГОНТИ |место=М.-Л. |год=1937 |страницы=229—231. |страниц=432 |archivedate=2013-12-06 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20131206192959/http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu }}</ref>. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи ''минимального'' числа скалярных параметров, использование [[параметры Родрига — Гамильтона|параметров Родрига — Гамильтона]] (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, [[углы Эйлера|углами Эйлера]]) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается<ref name="wittenburg" /><ref name="pogorelov" />.


Как алгебра над <math>\scriptstyle\Bbb R</math>, кватернионы образуют вещественное векторное пространство <math>\scriptstyle\Bbb H</math>, снабжённое [[тензор]]ом третьего ранга <math>S</math> типа (1,2), иногда называемого ''структурным тензором''. Как всякий тензор такого типа, <math>S</math> отображает каждую [[Внешняя форма|1-форму]] <math>t</math> на <math>\scriptstyle\Bbb H</math> и пару векторов <math>\left(a, b\right)</math> из <math>\scriptstyle\Bbb H</math> в вещественное число <math>S\left(t, a, b\right)</math>. Для любой фиксированной 1-формы <math>t</math> <math>S</math> превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится [[Скалярное произведение|скалярным произведением]] на <math>\scriptstyle\Bbb H</math>. Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным [[Линейное многообразие|линейным многообразием]], такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой [[Метрика (математика)|метрикой]] на <math>\scriptstyle\Bbb H</math>. В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его [[Сигнатура (математика)|сигнатура]] не зависит от 1-формы <math>t</math>, а соответствующая псевдоевклидова метрика есть [[метрика Минковского]]<ref>''Vladimir Trifonov'' A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.</ref>. Эта метрика автоматически продолжается на [[Группа Ли|группу Ли]] ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику<ref>''Vladimir Trifonov'' Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).</ref> — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости [[Квантовая механика|квантовой механики]] и [[ОТО|общей теории относительности]] в рамках теории [[Квантовая гравитация|квантовой гравитации]]<ref>''Vladimir Trifonov'' GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).</ref>.
Как алгебра над <math>\scriptstyle\mathbb R</math>, кватернионы образуют вещественное векторное пространство <math>\scriptstyle\mathbb H</math>, снабжённое [[тензор]]ом третьего ранга <math>S</math> типа (1,2), иногда называемого ''структурным тензором''. Как всякий тензор такого типа, <math>S</math> отображает каждую [[Внешняя форма|1-форму]] <math>t</math> на <math>\scriptstyle\mathbb H</math> и пару векторов <math>\left(a, b\right)</math> из <math>\scriptstyle\mathbb H</math> в вещественное число <math>S\left(t, a, b\right)</math>. Для любой фиксированной 1-формы <math>t</math> <math>S</math> превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится [[Скалярное произведение|скалярным произведением]] на <math>\mathbb H</math>. Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным [[Линейное многообразие|линейным многообразием]], такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой [[Метрика (дифференциальная геометрия)|метрикой]] на <math>\mathbb H</math>. В случае кватернионов это скалярное произведение [[Индефинитное произведение|индефинитно]], его [[Сигнатура (математика)|сигнатура]] не зависит от 1-формы <math>t</math>, а соответствующая псевдоевклидова метрика есть [[метрика Минковского]]<ref>''Vladimir Trifonov'' A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.</ref>. Эта метрика автоматически продолжается на [[Группа Ли|группу Ли]] ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику<ref>''Vladimir Trifonov'' Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).</ref> — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости [[Квантовая механика|квантовой механики]] и [[ОТО|общей теории относительности]] в рамках теории [[Квантовая гравитация|квантовой гравитации]]<ref>''Vladimir Trifonov'' GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).</ref>.


== См. также ==
== См. также ==
* [[Кватернионы и вращение пространства]]
* [[Кватернионы и вращение пространства]]
* [[Кватернионный анализ]]
* [[Кватернионный анализ]]
* [[Октонионы]]
* [[Октавы (алгебра)|Октавы]]
* [[Теорема Фробениуса]]
* [[Теорема Фробениуса]]
* [[Складывание рамок]]
* [[Шарнирный клин]]


== Примечания ==
== Примечания ==
Строка 394: Строка 469:


== Литература ==
== Литература ==
;на русском языке
* ''И. Л. Кантор, А. С. Солодовников'' [http://www.ftl.kherson.ua/index.php?option=com_remository&Itemid=5&func=showdown&id=8026 Гиперкомплексные числа]. — {{М}}: [[Наука (издательство)|Наука]], 1973. — 144 с.
* {{книга|автор=Березин А. В., Курочкин Ю. А., Толкачёв Е. А.|часть=|заглавие=Кватернионы в релятивистской физике|оригинал=|ссылка=https://archive.org/details/isbn_5354004039|издание=2-е|ответственный=|место=М.|издательство=Едиториал УРСС|год=2003|том=|страницы=[https://archive.org/details/isbn_5354004039/page/n10 12]|страниц=202|isbn=5-354-00403-9|ref=Березин, Курочкин и Толкачёв}}
* ''Мищенко А., Соловьев Ю.'' [http://kvant.mccme.ru/1983/09/kvaterniony.htm Кватернионы], — [[Квант (журнал)|Квант]], N9, 1983.
* {{статья|автор=Ватульян А. О.|заглавие=Кватернионы|издание=[[Соросовский образовательный журнал]]|год=1999|номер=5|страницы=117—120 |ссылка=http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9905_117.pdf}}
* ''Martin John Baker'' [http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm EuclideanSpace.com] — применение кватернионов в 3D графике.
* {{книга |автор=Кантор И. Л., Солодовников А. С.|ссылка=https://studizba.com/uploads/unziped/real/246967/pdf/77557-66098.pdf |заглавие=Гиперкомплексные числа |место={{М}} |издательство=[[Наука (издательство)|Наука]] |год=1973 |страниц=144}}
* [http://web.archive.org/web/20041120030005/http://quater1.narod.ru/glava_II.pdf Кватернионы. Кватеры.]
* [https://web.archive.org/web/20041120030005/http://quater1.narod.ru/glava_II.pdf Кватернионы. Кватеры.]
* {{статья|автор=Ватульян А. О.|заглавие=Кватернионы|издание=[[Соросовский образовательный журнал]]|год=1999|номер=5|страницы= 117-120}}
* ''Джон Х.Конвей, Дерек А.Смит.'' О кватернионах и октавах: об их геометрии, арифметике и симметриях. - М.: МЦНМО, 2009. - 184 с. ISBN 978-5-94057-517-7
* {{книга |автор=[[Конвей, Джон Хортон|Конвей Д.]], Смит Д.|заглавие=О кватернионах и октавах: об их геометрии, арифметике и симметриях |место={{М}} |издательство=[[МЦНМО]] |год=2009 |страниц=184 |ISBN=978-5-94057-517-7}}
* {{статья |автор = [[Мищенко, Александр Сергеевич|Мищенко А. С.]], Соловьёв Ю. П.|заглавие = Кватернионы|оригинал = |ссылка = http://kvant.mccme.ru/1983/09/kvaterniony.htm|издание = [[Квант (журнал)|Квант]]|год = 1983|том = 9|страницы = 10—15 |doi = |pmid = |bibcode = |arxiv = |ref = Мищенко и Соловьёв}}
;на других языках
* {{cite book | author=Stillwell, J. | year= 2008 | title=Naive lie theory | url=https://archive.org/details/naivelietheory0000stil | publisher=Springer | series=Undergraduate texts in mathematics | isbn=9780387782140|ref=Stillwell}}
* ''Martin John Baker'' [http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm EuclideanSpace.com] {{Wayback|url=http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm |date=20070927221021 }} — применение кватернионов в 3D графике.


{{вс}}
{{Числа}}
{{Числа}}
{{Алгебра над кольцом}}
{{Алгебра над кольцом}}
{{Производные буквы H|nocat=1}}


[[Категория:Кватернионы]]
[[Категория:Кватернионы]]

Текущая версия от 09:48, 28 сентября 2024

Кватернион
Дата основания, создания, возникновения 1843[1]
Предыдущее по порядку комплексное число
Следующее по порядку Алгебра Кэли
Первооткрыватель или изобретатель Уильям Роуэн Гамильтон[1]
Дата открытия (изобретения) 1843
Определяющая формула
Обозначение в формуле , и
Изображение памятной доски
Схематичная иллюстрация
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике — например, при создании трёхмерной графики[2].

Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»[3].

Определения

[править | править код]

Стандартное

[править | править код]

Кватернионы можно определить как сумму

где  — вещественные числа

Графическое представление таблицы умножения базисных кватернионов (цвет шара определяет первый множитель, цвет выходящей стрелки - второй множитель, стрелка указывает на результат умножения)
 — мнимые единицы со следующим свойством: , при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является коммутативным): , a .
Таблица умножения базисных кватернионов
X 1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

Как вектор и скаляр

[править | править код]

Кватернион представляет собой пару где  — вектор трёхмерного пространства, а  — скаляр, то есть вещественное число.

Операции сложения определены следующим образом:

Произведение определяется следующим образом:

где обозначает скалярное произведение, а  — векторное произведение.

В частности:

Заметим, что:

Через комплексные числа

[править | править код]

Произвольный кватернион можно представить как пару комплексных чисел в виде

или эквивалентно

где  — комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .

Через матричные представления

[править | править код]

Вещественными матрицами

[править | править код]

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

При такой записи:

  • сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:
    ;
  • четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:

Комплексными матрицами

[править | править код]

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой[4]:

здесь и обозначают комплексно-сопряжённые числа к и .

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

  • комплексному числу соответствует диагональная матрица;
  • сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:
    ;
  • квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:

Связанные объекты и операции

[править | править код]

Для кватерниона

кватернион называется скалярной частью а кватернион  — векторной частью. Если то кватернион называется чисто скалярным, а при  — чисто векторным.

Сопряжение

[править | править код]

Для кватерниона сопряжённым называется[5]:

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке[6]:

Для кватернионов справедливо равенство

Так же, как и для комплексных чисел[7],

называется модулем . Если то называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: .

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Обращение умножения (деление)

[править | править код]

Кватернион, обратный по умножению к , вычисляется так[5]: .

Алгебраические свойства

[править | править код]

Множество кватернионов является примером тела, то есть кольца с делением и единицей. Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел.

По теореме Фробениуса тела , , являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

Кватернионы и повороты пространства

[править | править код]
Организация трёх степеней свободы, но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над , образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно может быть записан в виде , где и  — пара единичных кватернионов, при этом пара определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — и . Из этого следует, что группа Ли поворотов есть факторгруппа , где обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно может быть записан в виде , где  — некоторый единичный кватернион. Соответственно, , в частности, диффеоморфно .

«Целые» кватернионы

[править | править код]

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: .

Целыми по Гурвицу принято называть кватернионы такие, что все  — целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

  • чётным
  • нечётным
  • простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме , нацело (иными словами, ).

Целые единичные кватернионы

[править | править код]

Существует 24 целых единичных кватерниона:

; ; ; ;

Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3-мерным многогранником-кубооктаэдром).

Разложение на простые сомножители

[править | править код]

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.[8] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона в произведение простых целых положительных чисел существует разложение кватерниона в произведение простых кватернионов такое, что . Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

,

где , , , …  — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

Общее число разложений такого кватерниона равно

Функции кватернионного переменного

[править | править код]

Вспомогательные функции

[править | править код]

Знак кватерниона вычисляется так:

Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона в виде

Здесь  — вещественная часть кватерниона, . При этом , поэтому проходящая через и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид для фиксированного единичного вектора . В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

Элементарные функции

[править | править код]

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если для комплексных чисел, то , где кватернион рассматривается в «комплексном» представлении .

Степень и логарифм

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до .

Тригонометрические функции

Линейное отображение

[править | править код]

Отображение алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства

где  — поле действительных чисел. Если является линейным отображением алгебры кватернионов, то для любых отображение

является линейным отображением. Если  — тождественное отображение (), то для любых мы можем отождествить тензорное произведение с отображением

Для любого линейного отображения существует тензор , , такой, что

В приведённых выше равенствах предполагается суммирование по индексу . Поэтому мы можем отождествить линейное отображение и тензор .

Регулярные функции

[править | править код]

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию как имеющую предел

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки вид

где  — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

и рассмотрении таких кватернионных функций , для которых[9]

что полностью аналогично использованию операторов и в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[10].

Дифференцирование отображений

[править | править код]

Непрерывное отображение называется дифференцируемым на множестве , если в каждой точке изменение отображения может быть представлено в виде

где

линейное отображение алгебры кватернионов и такое непрерывное отображение, что

Линейное отображение называется производной отображения .

Производная может быть представлена в виде[11]

Соответственно дифференциал отображения имеет вид

Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения и называются компонентами производной.

Для произвольного кватерниона верно равенство

Виды умножений

[править | править код]

Умножение Грассмана

[править | править код]

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ().

Евклидово умножение

[править | править код]

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берётся сопряжённый к нему: . Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение

[править | править код]

Аналогично одноимённой операции для векторов:

.

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, .

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

.

Внешнее произведение

[править | править код]
.

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение

[править | править код]

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

.

Из истории

[править | править код]
Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»[12]

Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 18191820 годам[13]. Также кватернионы рассматривал Эйлер. Б. О. Родриг (1840 год) при рассмотрении поворотов абсолютно твёрдого тела вывел правила умножения кватернионов[14][15].

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной[15].

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном (который также занимался указанной задачей) в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон работал сначала с дуплетами (точками на плоскости) и легко получил правила для умножения соответствующие комплексным числам, но для точек в пространстве (триплеты) не мог получить никакой формулы умножения для таких наборов. В конце концов решил попробовать четвёрки — точки в четырёхмерном пространстве. Эти числа Гамильтон назвал кватернионами[16]. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно[17].

Развитие кватернионов и их приложений в физике следовало по трём путям, связанным с алгебраическим подходом, апологетами которого выступали Кэли, который в 1858 году открыл матричное представление кватернионов[6], Клиффорд, Б. Пирс, Ч. Пирс и Фробениус; с теорией комплексных кватернионов, представителями которого были Клиффорд, Штуди и Котельников; с физикой из-за имён Максвелла и Хэвисайда[18]. Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.[19] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд)[20]. Применение кватернионов было вытеснено векторным анализом из уравнений электродинамики. Впрочем тесная связь уравнений Максвелла с кватернионами не исчерпывается только электродинамикой, поскольку была построена теория СТО с использованием кватернионов А. У. Конвеем[англ.] и Зильберштейном[пол.][21]. Послевоенный период применения кватернионов в физике связан с широким применением теории групп и их представлений в физике элементарных частиц. Также возможно заменить стандартное гильбертово пространство квантовой механики на его определение над телом кватернионов[22].

Современное применение

[править | править код]

В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике[23] и теории относительности[24]. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр[25], а также в вычислительной механике[26][27], в инерциальной навигации и теории управления[28][29]. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»[30].

Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление[31]. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается[26][27].

Как алгебра над , кватернионы образуют вещественное векторное пространство , снабжённое тензором третьего ранга типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, отображает каждую 1-форму на и пару векторов из в вещественное число . Для любой фиксированной 1-формы превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы , а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского[32]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику[33] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации[34].

Примечания

[править | править код]
  1. 1 2 Hazewinkel M., Gubareni N. M., (not translated to en) Algebras, rings and modules (англ.)Springer Science+Business Media, 2004. — P. 12. — ISBN 978-1-4020-2690-4
  2. Кватернионы в программировании игр Архивная копия от 25 июля 2009 на Wayback Machine (GameDev.ru)
  3. Полак Л. С. Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения) // Труды Института истории естествознания. — АН СССР, 1956. — Т. 15 (История физ.-мат. наук). — С. 273..
  4. Stillwell, 2008, p. 7.
  5. 1 2 Stillwell, 2008, p. 9.
  6. 1 2 Stillwell, 2008, p. 10.
  7. Stillwell, 2008, p. 8.
  8. John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Дата обращения: 7 февраля 2009. Архивировано 22 августа 2011 года.
  9. R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.
  10. A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.
  11. Выражение не является дробью и должно восприниматься как единый символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения при заданном является кватернионом.
  12. В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (Л. С. Полак Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)
  13. Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 68.
  14. Rodrigues Olinde. Геометрические законы, управляющие перемещениями твёрдой системы в пространстве, и изменение координат, возникающее в результате этих перемещений, рассматриваемые независимо от причин, которые могут их вызвать = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des causes qui peuvent les produire // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1840. — Т. 5. — С. 380—440.
  15. 1 2 Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 5.
  16. Мищенко и Соловьёв, 1983, с. 11—12.
  17. Мищенко и Соловьёв, 1983, с. 15.
  18. Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 6—8.
  19. А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева. Архивная копия от 3 мая 2017 на Wayback Machine
  20. Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 8.
  21. Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 9.
  22. Березин, Курочкин и Толкачёв, 2003, с. 10.
  23. Курочкин Ю. А. Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109. — ИФ АН БССР. — 1976.
  24. Александрова Н. В. Исчисление кватернионов Гамильтона // Гамильтон У. Р. Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы. — М.: Наука, 1994. — (Классики науки).— С. 519—534.
  25. Побегайло А. П. Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике. — Минск: Издательство БГУ, 2010. — 216 с. — ISBN 978-985-518-281-9..
  26. 1 2 Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. — М.: Мир, 1980. — 292 с. — С. 25—26, 34—36.
  27. 1 2 Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел. — Брянск: Издательство БГТУ, 1997. — 156 с. — ISBN 5-230-02435-6.. — С. 22—26, 31—36.
  28. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. — 672 с. — С. 87—103, 593—604.
  29. Чуб В. Ф. Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени. Дата обращения: 9 декабря 2013. Архивировано 13 декабря 2013 года.
  30. Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике». Дата обращения: 13 марта 2014. Архивировано 26 сентября 2016 года.
  31. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.Л.: ГОНТИ, 1937. — Т. I. — С. 229—231.. — 432 с. Архивировано 6 декабря 2013 года.
  32. Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
  33. Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
  34. Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

Литература

[править | править код]
на русском языке
на других языках