Кватернион: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Tosha (обсуждение | вклад) |
Tosha (обсуждение | вклад) |
||
Строка 158: | Строка 158: | ||
[[Файл:Rotating gimbal-xyz.gif|thumb|240px|Организация [[Шесть степеней свободы|трёх степеней свободы]], но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец]] |
[[Файл:Rotating gimbal-xyz.gif|thumb|240px|Организация [[Шесть степеней свободы|трёх степеней свободы]], но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец]] |
||
Кватернионы, рассматриваемые как [[Алгебра над полем|алгебра]] над <math> |
Кватернионы, рассматриваемые как [[Алгебра над полем|алгебра]] над <math>\mathbb R</math>, образуют четырёхмерное вещественное [[векторное пространство]]. Любой поворот этого пространства относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>q\mapsto \xi q \zeta</math>, где <math>\xi</math> и <math>\zeta</math> — пара единичных кватернионов, при этом пара <math>\left(\xi,\zeta\right)</math> определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — <math>\left(\xi,\zeta\right)</math> и <math>\left(-\xi,-\zeta\right)</math>. Из этого следует, что [[группа Ли]] <math>\text{SO}\left(\R,4\right)</math> [[поворот]]ов <math>\R^4</math> есть [[факторгруппа]] <math>S^3\times S^3/\Z_2</math>, где <math>S^3</math> обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов. |
||
Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>u\mapsto \xi u \bar\xi</math>, где <math>\xi</math> — некоторый единичный кватернион. Соответственно, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)=S^3/\Z_2</math>, в частности, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)</math> [[диффеоморфизм|диффеоморфно]] <math>\R \mathrm{P}^3</math>. |
Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно <math>0</math> может быть записан в виде <math>u\mapsto \xi u \bar\xi</math>, где <math>\xi</math> — некоторый единичный кватернион. Соответственно, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)=S^3/\Z_2</math>, в частности, <math>\text{SO}\left(\R,3\right)</math> [[диффеоморфизм|диффеоморфно]] <math>\R \mathrm{P}^3</math>. |
Версия от 06:48, 24 ноября 2020
Кватернион | |
---|---|
Дата основания, создания, возникновения | 1843[1] |
Предыдущее по порядку | комплексное число |
Следующее по порядку | Алгебра Кэли |
Первооткрыватель или изобретатель | Уильям Роуэн Гамильтон[1] |
Дата открытия (изобретения) | 1843 |
Определяющая формула | |
Обозначение в формуле | , и |
Медиафайлы на Викискладе |
Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.
Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.[2]
Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»[3].
Определения
Стандартное
Кватернионы можно определить как сумму
где — вещественные числа
- — мнимые единицы со следующим свойством: , при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является коммутативным): , a .
Таблица умножения базисных кватернионов — — выглядит так:
Как вектор и скаляр
Кватернион представляет собой пару где — вектор трёхмерного пространства, а — скаляр, то есть вещественное число.
Операции сложения определены следующим образом:
Произведение определяется следующим образом:
где обозначает скалярное произведение, а — векторное произведение.
В частности,
Заметим, что:
- Алгебраические операции в кватернионах обладают свойством дистрибутивности;
- Антикоммутативность векторного произведения влечёт некоммутативность произведения кватернионов.
Через комплексные числа
Произвольный кватернион можно представить как пару комплексных чисел в виде
или эквивалентно
где — комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .
Через матричные представления
Вещественными матрицами
Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:
При такой записи:
- сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:
- ;
- четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:
- .
Комплексными матрицами
Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:
здесь и обозначают комплексно-сопряжённые числа к и .
Такое представление имеет несколько замечательных свойств:
- комплексному числу соответствует диагональная матрица;
- сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:
- ;
- квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:
- .
Связанные объекты и операции
Для кватерниона
кватернион называется скалярной частью а кватернион — векторной частью. Если то кватернион называется чисто скалярным, а при — чисто векторным.
Сопряжение
Для кватерниона сопряжённым называется:
Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:
Для кватернионов справедливо равенство
Модуль
Так же, как и для комплексных чисел,
называется модулем . Если то называется единичным кватернионом.
В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: .
Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное с евклидовой метрикой.
Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.
Из тождества четырёх квадратов вытекает, что иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.
Обращение умножения (деление)
Кватернион, обратный по умножению к , вычисляется так: .
Алгебраические свойства
Множество кватернионов является примером тела, то есть кольца с делением и единицей. Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел.
По теореме Фробениуса тела , , являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел.
Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.
Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:
- .
Кватернионы и повороты пространства
Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над , образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно может быть записан в виде , где и — пара единичных кватернионов, при этом пара определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — и . Из этого следует, что группа Ли поворотов есть факторгруппа , где обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.
Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно может быть записан в виде , где — некоторый единичный кватернион. Соответственно, , в частности, диффеоморфно .
«Целые» кватернионы
В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: .
Целыми по Гурвицу принято называть кватернионы такие, что все — целые и одинаковой чётности.
Целый кватернион называется
- чётным
- нечётным
- простым
если таким же свойством обладает его норма.
Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме , нацело (иными словами, ).
Целые единичные кватернионы
Существует 24 целых единичных кватерниона:
- ; ; ; ; .
Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4х-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3х-мерным многогранником-кубооктаэдром).
Разложение на простые сомножители
Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.
Теорема.[4] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона в произведение простых целых положительных чисел существует разложение кватерниона в произведение простых кватернионов такое, что . Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид
- ,
где , , , … — целые единичные кватернионы.
Например, примитивный кватернион имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:
Общее число разложений такого кватерниона равно
Функции кватернионного переменного
Вспомогательные функции
Знак кватерниона вычисляется так:
- .
Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:
- .
В дальнейшем используется представление заданного кватерниона в виде
Здесь — вещественная часть кватерниона, . При этом , поэтому проходящая через и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид для фиксированного единичного вектора . В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.
Элементарные функции
Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если для комплексных чисел, то , где кватернион рассматривается в «комплексном» представлении .
- Степень и логарифм
Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до .
- Тригонометрические функции
Линейное отображение
Отображение алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства
где — поле действительных чисел. Если является линейным отображением алгебры кватернионов, то для любых отображение
является линейным отображением. Если — тождественное отображение (), то для любых мы можем отождествить тензорное произведение с отображением
Для любого линейного отображения существует тензор , , такой, что
В приведенных выше равенствах предполагается суммирование по индексу . Поэтому мы можем отождествить линейное отображение и тензор .
Регулярные функции
Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию как имеющую предел
Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки вид
где — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов
и рассмотрении таких кватернионных функций , для которых[5]
что полностью аналогично использованию операторов и в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[6].
Дифференцирование отображений
Непрерывное отображение называется дифференцируемым на множестве , если в каждой точке изменение отображения может быть представлено в виде
где
линейное отображение алгебры кватернионов и такое непрерывное отображение, что
Линейное отображение называется производной отображения .
Производная может быть представлена в виде[7]
Соответственно дифференциал отображения имеет вид
- df=
Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения и называются компонентами производной.
Для произвольного кватерниона верно равенство
Виды умножений
Умножение Грассмана
Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ().
Евклидово умножение
Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: . Оно также некоммутативно.
Скалярное произведение
Аналогично одноимённой операции для векторов:
- .
Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, .
Определение модуля кватерниона можно видоизменить:
- .
Внешнее произведение
- .
Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.
Векторное произведение
Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:
- .
Из истории
Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819—1820 годам.[9]
Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.
Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.
Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.[10] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).
Современное применение
В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике[11] и теории относительности[12]. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр[13], а также в вычислительной механике[14][15], в инерциальной навигации и теории управления[16][17]. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»[18].
Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление[19]. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается[14][15].
Как алгебра над , кватернионы образуют вещественное векторное пространство , снабжённое тензором третьего ранга типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, отображает каждую 1-форму на и пару векторов из в вещественное число . Для любой фиксированной 1-формы превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы , а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского[20]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику[21] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации[22].
См. также
- Кватернионы и вращение пространства
- Кватернионный анализ
- Октонионы
- Теорема Фробениуса
- Шарнирный клин
Примечания
- ↑ 1 2 Hazewinkel M., Gubareni N. M., (not translated to en) Algebras, rings and modules (англ.) — Springer Science+Business Media, 2004. — P. 12. — ISBN 978-1-4020-2690-4
- ↑ Кватернионы в программировании игр (GameDev.ru)
- ↑ Полак Л. С. Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения) // Труды Института истории естествознания. — АН СССР, 1956. — Т. 15 (История физ.-мат. наук). — С. 273..
- ↑ John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Дата обращения: 7 февраля 2009. Архивировано 22 августа 2011 года.
- ↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.
- ↑ A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.
- ↑ Выражение не является дробью и должно восприниматься как единый символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения при заданном является кватернионом.
- ↑ В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (Л. С. Полак Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)
- ↑ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 68.
- ↑ А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.
- ↑ Курочкин Ю. А. Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109. — ИФ АН БССР. — 1976.
- ↑ Александрова Н. В. Исчисление кватернионов Гамильтона // Гамильтон У. Р. Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы. — М.: Наука, 1994. — (Классики науки).— С. 519—534.
- ↑ Побегайло А. П. Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике. — Минск: Изд-во БГУ, 2010. — 216 с. — ISBN 978-985-518-281-9..
- ↑ 1 2 Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. — М.: Мир, 1980. — 292 с. — С. 25—26, 34—36.
- ↑ 1 2 Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел. — Брянск: Изд-во БГТУ, 1997. — 156 с. — ISBN 5-230-02435-6.. — С. 22—26, 31—36.
- ↑ Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. — 672 с. — С. 87—103, 593—604.
- ↑ Чуб В. Ф. Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени . Дата обращения: 9 декабря 2013.
- ↑ Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»
- ↑ Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.—Л.: ГОНТИ, 1937. — Т. I. — С. 229—231.. — 432 с.
- ↑ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
- ↑ Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
- ↑ Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
Литература
- И. Л. Кантор, А. С. Солодовников Гиперкомплексные числа (недоступная ссылка). — М.: Наука, 1973. — 144 с.
- Мищенко А., Соловьев Ю. Кватернионы, — Квант, N9, 1983.
- Martin John Baker EuclideanSpace.com — применение кватернионов в 3D графике.
- Кватернионы. Кватеры.
- Ватульян А. О. Кватернионы // Соросовский образовательный журнал. — 1999. — № 5. — С. 117-120.
- Джон Х.Конвей, Дерек А.Смит. О кватернионах и октавах: об их геометрии, арифметике и симметриях. - М.: МЦНМО, 2009. - 184 с. ISBN 978-5-94057-517-7