Пи-теорема

Π-теорема (пи-теорема) — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется зависимость между $n$ физическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она эквивалентна зависимости между, вообще говоря, меньшим числом $p=n-k$ безразмерных величин, где $k$ — наибольшее число величин с независимыми размерностями среди исходных $n$ величин. Π-теорема позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен.

История

π-теорема была опубликована в 1917 году, а впоследствии и обобщена Германом Вейлем в 1926. Поэтому за рубежом она именуется «теорема Бакингема» (см. интервики), либо «теорема Ваши-Бакингема».

Теорема

Если дано физически значимое выражение:

$f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0$,

где $q_{i}$ — это n различных физических переменных и они выражаются через k независимых физических величин, то это выражение может быть переписано в виде:

$F({\pi }_{1},{\pi }_{2},\ldots ,{\pi }_{p})=0$,

где ${\pi }_{i}$ — это безразмерные параметры, полученные из $q_{i}$ при помощи p = n-k выражений следующего вида:

${\pi }_{i}={q_{1}}^{m_{1}}\cdot {q_{2}}^{m_{2}}\cdot \ldots \cdot {q_{n}}^{m_{n}}$,

где показатели степеней $m_{i}$ — это рациональные числа.

Доказательство

Дана система из n размерных величин (физических величин) в k (физических) измерениях. Запишем матрицу M. Её строками будут измерения, а столбцами — физические величины: элемент (i, j) этой матрицы соответствует степени i-го множителя в формуле размерности j-й физической величины. Матрица может быть проинтерпретирована следующим образом: столбцу

$\left[{\begin{array}{ccc}{m_{1}}\\{m_{2}}\\\vdots \\{m_{n}}\end{array}}\right]$

соответствует запись

${q_{1}}^{m_{1}}\cdot {q_{2}}^{m_{2}}\cdot \ldots \cdot {q_{n}}^{m_{n}}$

Очевидно, что безразмерным величинам соответствуют нулевые столбцы матрицы. Эти столбцы являются линейными комбинациями столбцов, соответствующих размерным величинам.

Как известно, любая система из n векторов в k-мерном линейном пространстве удовлетворяет системе из p = n-k отношений. И любой её базис будет состоять из p элементов, которым соответствуют безразмерные величины.

Безразмерные величины всегда могут быть выбраны таким образом, чтобы быть целочисленной комбинацией размерных величин. Это математический, иногда не самый лучший способ определения безразмерных величин. Некоторые способы выбора безразмерных величин более физически значимы (например, имеют смысл отношения характерных сил), и они должны использоваться в идеале.

См. также

• Анализ размерности
• Критерий подобия, безразмерные числа
• Размерность физической величины

Библиография

• Buckingham, E. (1914). «On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations». Phys. Rev. 4: 345—376.

Ссылки

• Некоторые обзорные работы и первоисточники по истории пи-теоремы и теории подобия