Комплексное число: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Satels (обсуждение | вклад) |
|||
Строка 166: | Строка 166: | ||
* ''Понтрягин Л.'' [http://kvant.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm Комплексные числа], [[Квант (журнал)|Квант]], № 3, 1982. |
* ''Понтрягин Л.'' [http://kvant.mccme.ru/1982/03/kompleksnye_chisla.htm Комплексные числа], [[Квант (журнал)|Квант]], № 3, 1982. |
||
* [http://v.shumeyko.com/?p=4 Простой калькулятор комплексных чисел] |
* [http://v.shumeyko.com/?p=4 Простой калькулятор комплексных чисел] |
||
* [http://kontrolnaya-rabota.ru/s/kopleksnyie-chisla/ Калькулятор комплексных чисел онлайн] |
|||
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]] |
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]] |
||
|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления |
|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления |
Версия от 07:29, 30 сентября 2009
Ко́мпле́ксные[1] чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению .[2]
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени с комплексными коэффициентами имеет ровно комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.
Определения
Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена .
Стандартная модель
Формально, комплексное число — это упорядоченная пара вещественных чисел с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:
Вещественные числа представлены в этой модели парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой .
Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа и при этом сохранив обычные свойства порядка, невозможно.
Матричная модель
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать
мнимой единице —
Замечания
- Ошибочно определение числа как единственного числа, удовлетворяющего уравнению , так как число также удовлетворяет этому уравнению.
- Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо , не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:
- , в то время как правильный ответ: .
Действия над комплексными числами
- Сравнение
- означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
- Сложение
- Вычитание
- Умножение
- Деление
Связанные определения
Пусть и — вещественные числа такие, что комплексное число (обычные обозначения). Тогда
- Числа или и или называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями .
- Если , то называется мнимым или чисто мнимым.
- Число называется модулем числа . Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:
- , причём тогда и только тогда, когда ;
- (неравенство треугольника);
- Угол такой, что: и , называется аргументом . Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до , где — любое целое число. Из определения следует, что .
Сопряжённые числа
Если комплексное число , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к (обозначается также ).
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
- (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
Обобщение: , где — произвольный комплексный многочлен.
- (модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного).
Представление комплексных чисел
Алгебраическая форма
Запись комплексного числа в виде , , называется алгебраической формой комплексного числа.
Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ):
Тригонометрическая и показательная формы
Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (, ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме
Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:
где — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.
Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:
Геометрическое представление
Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами и (или её радиус-вектор, что то же самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки. Такая плоскость называется комплексной.
Отметим, что для пары комплексных чисел и модуль их разности равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Сопряжённые комплексные числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси.
В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний.
Формула Муавра
Эта формула позволяет возводить в степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:
где — модуль, а — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году.
Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -ой степени из ненулевого комплексного числа:
Отметим, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).
История
Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.
Выражения вида , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».[3]
Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).
Символ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.
Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя.
Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.
Функции комплексного переменного
- Гамма-функция
- Гиперболические функции
- Дзета-функция Римана
- Комплексный анализ
- Комплексный логарифм
- Показательная функция
- Степенная функция
- W-функция Ламберта
См. также
- Кватернионы
- Гиперкомплексные числа — конечномерные алгебры над полем вещественных чисел.
- Комплексная функция
- Комплексный анализ
Примечания
- ↑ Школьная энциклопедия «Математика» (издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996 год) указывает ударение компле́ксный. Большая советская энциклопедия, «Русский орфографический словарь» Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей допускают оба варианта ударения, см. ГРАМОТА.РУ
- ↑ В физике, в особенности в теории электрических цепей, символ иногда заменяют на , чтобы не путать со стандартным обозначением электрического тока ().
- ↑ Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 139.
Ссылки
- Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002
- Елисеев В. И. «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М.:, НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308
- Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
- Простой калькулятор комплексных чисел
- Калькулятор комплексных чисел онлайн
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. II. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2, 5-9221-0436-5..
- CaRevol Jet — Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows.