Комплексное число

Запрос «Мнимая величина» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «Re» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «Im» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Ко́мпле́ксные чи́сла — расширение множества вещественных чисел. обычно обозначается $\mathbb {C}$. Кадое комплексное число $z$ представляет собой сумму $x+iy$, где $x$ и $y$ вещественные, а $i$ это так называемая мнимая единица, являющейся корнем уравнения $i^{2}=-1$

Множество комплексных чисел обозначается в литературе как $\mathbb {C}$ (ажурное), а иногда как $C$ (простое), $\mathbf {C}$ (полужирное).

Определения

Существуют три взаимосвязанные модели комплексных чисел:

• Как упорядоченная пара вещественных чисел позволяет ввести и обосновать традиционную форму записи комплексного числа;
• Матричное представление комплексных чисел позволяет связать воедино алгебру и геометрию в рамках и находит своё воплощение в алгебраической геометрии.
• Как алгебраическое пополнение

Как упорядоченная пара

Комплексные числа как упорядоченные пары

Комплексное число $z$ — это упорядоченная пара

$z=(x,\,y),$

или, что тоже самое, комплекс, состоящий из двух вещественных чисел $x$ и $y$:

• число $x$ называется вещественной частью комплексного числа $z$ и обозначается как $\mathrm {Re} \,z$ или $\Re z$;
• число $y$ называется мнимой частью комплексного числа $z$ и обозначается как $\mathrm {Im} \,z$ или $\Im (z)$.

В соответствии с этим, два комплексных числа $z_{1}=(x_{1},\,y_{1}),$ и $z_{2}=(x_{2},\,y_{2}),$ полагаются равными, если у них совппадают вещественные и комплексные части:

$x_{1}=x_{2}$ и $y_{1}=y_{2}$.

Поле комплексных чисел

На множестве упорядоченных пар

$\mathbb {C} =\{(x,\,y)|x,y\in \mathbb {R} \}$

вводятся две операции:

• операция сложения

$(x_{1},\,y_{1})+(x_{2},\,y_{2})=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}),$

• операция умножения

$(x_{1},\,y_{1})\cdot (x_{2},\,y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).$

Таким образом введённые операции задают в $\mathbb {C}$ структуру поля

$(\mathbb {C} ,+,\cdot ),$

которая и называется полем компексных чисел. Упорядоченная пара $(1,\,0),$ играет роль единицы данного поля.

Упорядоченные пары вида $(x,\,0)$ образуют в $\mathbb {C}$ подмножество, изоморфное $\mathbb {R}$. Действительно, если отождествить каждую такую пару $(x,\,0)$ и вещественное число $x$:

$x=(x,\,0),$

то окажется, что операции сложения и умножения не выводят за пределы указанного подмножества, и это подмножество является полем.

Мнимая единица

Число $(0,\,1),$ называется мнимой единицей и имеет специальное обозначение: $i$ или $j$..

Это число обладает следующим свойством: $(0,\,1)\cdot (x,\,y)=(0\cdot x-1\cdot y,\,0\cdot y+1\cdot x)=(-y,\,x),$ откуда непосредственно вытекает, что $i^{2}=(0,\,1)\cdot (0,\,1)=(-1,\,0)=-1.$

Алгебраическая форма записи

Поскольку

$(x,\,y)=(x,\,0)+(0,\,y)=x(1,\,0)+y(0,\,1)=x+y\cdot i,$

комплексные числа кратко записывают в виде

$x+i\,y$

Другими словами, для комплексных чисел всегда выполняется тождество

$z=\mathrm {Re} \,z+i\,\mathrm {Im} \,z.$

Запись комплексного числа $z$ в виде

$x+iy,$

называется алгебраической формой (записи) комплексного числа.

Алгебраическое представление комплексных чисел позволяет наглядно описать операции над комплексными числами:

• операцию сложения

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d);$

• операцию умножения

$(a+ib)\cdot (c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc).$

Таким образом, вычисления над комплексными числами осуществляются так же как и с обычными (вещественными) числами:

• можно переставлять слагаемые и множители местами (коммутативность сложения и умножения комплексных чисел);
• можно раскрывать скобки (закон дистрибутивности операций сложения и умножения комплексных чисел).

При этом, отдельно группируются вещественная и мнимая части, и, поскольку $i^{2}=-1$,

• вещественной частью конечного результата будет сумма всех слагаемых при чётных степенях мнимой единицы;
• мнимой частью конечного результата будет сумма всех слагаемых при нечётных степенях мнимой единицы.

Можно было изначально рассматривать алгебраическое представление комплексных чисел в качестве исходного, постулировать выполнение свойств коммутативности и дистрибутивности и получить формулы для сложения и умножения комплексных чисел. Однако, в математике принято сначала вводить объекты и операции над ними (с заранее заданными свойствами), а уже потом переходить у привычной форме записи, имея, в результате, все формальные основания для её использования. Строго говоря, символ

$x+i\cdot y$

нельзя использовать, поскольку ещё нет никакого описания того, что такое $+$ и $\cdot$. Именно по-этому, комплексные числа сначала вводятся как упорядоченные пары (с несколько экзотическим умножением), а уже потом доказывается правомочность перехода к алгебраической форме записи.

Замечания

• Ошибочно определение числа $i$ как единственного числа, удовлетворяющего уравнению $x^{2}=-1$, так как число $(-i)$ также удовлетворяет этому уравнению.
• Следует также заметить, что выражение ${\sqrt {-1}}$, ранее часто использовавшееся вместо $i$, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде $5+{\sqrt {-3}}$ считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как $5+i{\sqrt {3}}$. Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

${\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {(-3)\cdot (-3)}}={\sqrt {9}}=3$, в то время как правильный ответ: $-3$.

Матричное представление

Каждое комплексное число $x+iy$ можно представить как матрицу вида

${\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}$

с обычным матричным сложением и умножением. В этом случае, очевидно, будет выполняться соответствие:

$1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},$

$i={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

Как алгебраическое пополнение

Комплексные числа образуются из вещественных присоединением корней всевозможных многочленов с коеффициентами из $\mathbb {R}$. Все такие элементы называются алгебраическими, а результат присоединения называется алгебраическим пополнение поля вещественных чисел.

Геометрическая интерпретация

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу $~z=x+iy$ сопоставим точку плоскости с координатами $\{x,y\}$ (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа $z$ часто обозначается буквами $~r$ или $\rho$.

Угол $\varphi$ (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу $z$, называется аргументом числа $z$ и обозначается $~\operatorname {Arg} (z)$.

• Из этого определения следует, что $\operatorname {tg} \ \varphi ={\frac {y}{x}}$; $\cos \varphi ={\frac {x}{|z|}}$; $\sin \varphi ={\frac {y}{|z|}}$.
• Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2k\pi$, где $k$ — любое целое число.
• Главным значением аргумента называется такое значение $\varphi$, что $-\pi <\varphi \leqslant \pi$. Часто главное значение обозначается $~\operatorname {arg} (z)$. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: $~\operatorname {arg} ({\frac {1}{z}})=-\operatorname {arg} (z)$.

Связанные определения

Комплексное сопряжение

Если

$z=x+iy,$

то число

${\bar {z}}=x-iy$

называется числом сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к числу $z$.

Непосредственно из определения комплексно сопряжённого числа следует, что

$\mathrm {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}};\quad \mathrm {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.$

Операция комплесного сопряжения также обладает следующими свойствами:

• ${\bar {\bar {z}}}=z$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное);
• $|{\bar {z}}|=|z|$;
• $z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}$;
• ${\overline {z_{1}\pm z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\pm {\bar {z}}_{2}$;
• ${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}$.

И, вообще, для всякого многочлена $p(z)$ с вещественными коэффициентами имеет место соотношение:

${\overline {p(z)}}=p({\bar {z}}).$

Отсюда следует важное следствие, если $z$ — корень уравнения

$p(z)=0,$

то ${\overline {z}}$ также является корнем того же уравнения:

$p({\bar {z}})=0$.

Модуль комплексного числа

Для комплексного числа $z=x+iy$, вещественное число

$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}},$

называется модулем комплексного числа $z$.

Если $z$ является вещественным числом, то $|z|$ совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых $z,z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ имеют место следующие свойства модуля. :

1. $|z|\geqslant 0\,$, причём $|z|=0\,$ тогда и только тогда, когда $z=0\,$;;
2. $|z_{1}+z_{2}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|\,$ (неравенство треугольника);
3. $|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|\,$;
4. $|z_{1}/z_{2}|=|z_{1}|/|z_{2}|\,$.

Из третьего свойства следует $|a\cdot z|=|a|\cdot |z|$, где $a\in \mathbb {R}$. Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем $\mathbb {R}$.

1. Для пары комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$ модуль их разности $|z_{1}-z_{2}|$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Свойства

Деление комплексных чисел

Операция комплексного сопряжения позволяет корректно описать операцию деления одного комплексного числа на другое:

• пусть $\alpha =a+bi$ и $\beta =c+di$ — два комплексных числа ($\beta \neq 0$),

тогда определим деление $\alpha /\beta$ по правилу:

${\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha }{\beta }}\cdot {\frac {\bar {\beta }}{\bar {\beta }}}={\frac {1}{|\beta |^{2}}}\,\alpha {\bar {\beta }}$.

Или, более подробно:

${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {a+bi}{c+di}}\cdot {\frac {c-di}{c-di}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i.$

Таким образом, при делении приходится домножать числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряжённое к числу, стоящему в знаменателе, чтобы получить в знаменателе вещественное число.

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Основная статья: Формула Муавра

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^{n}=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi )]^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ),$

где $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формуле справедлива при любом целом n, не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней $n$-ой степени из ненулевого комплексного числа:

$z^{1/n}=[r(\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k))]^{1/n}=$

$=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),$

$n>1,k=0,\;1,\;\ldots ,\;n-1.$

Отметим, что корни $n$-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса ${\sqrt[{n}]{r}}$ с центром в начале координат (см. рисунок).

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида $a+b{\sqrt {-1}}$, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени $n$ из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ $i={\sqrt {-1}}$ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл Коши.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Функции комплексного переменного

Основная статья: Комплексная функция

• Гамма-функция
• Гиперболические функции
• Дзета-функция Римана
• Комплексный анализ
• Комплексный логарифм
• Показательная функция
• Степенная функция
• W-функция Ламберта

Вариации и обобщения

• Гиперкомплексные числа
  • Кватернионы
  • Двойные числа
  • Дуальные числа
  • Алгебра Кэли (октавы)
• Алгебра Клиффорда

См. также

• Комплексный анализ

Литература

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002
• Елисеев В. И. «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М.:, НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. II. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2, 5-9221-0436-5..

Ссылки

• Простой калькулятор комплексных чисел.
• CaRevol Jet — Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows.