Трансцендентное число

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами (не равного тождественно нулю).

Свойства

• Множество трансцендентных чисел континуально.
• Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число ${\sqrt {2}}$ — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена $\!x^{2}-2$ (и потому является алгебраическим).
• Порядок на множестве вещественных трансцендентных чисел изоморфен порядку на множестве иррациональных чисел.
• Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равна 2.

Примеры

• Число $\!\pi$.
• Число $\!e$.
• Десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел вида $\!10^{n}$.
• $\!\sin a$, $\!\cos a$ и $\!\mathrm {tg} \,a$, для любого ненулевого алгебраического числа $\!a$ (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).

История

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа $\!\pi$ и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если $a\neq 0,1$, $\!a$ — алгебраическое число, и $\!b$ — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что $\!a^{b}$ — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число $2^{\sqrt {2}}$. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщения

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Некоторые открытые проблемы

• Неизвестно, является ли число $\ln \pi$ рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным.

• Неизвестна мера иррациональности для чисел $\ln 2,\ln 3$..

См. также

• Кольцо периодов

Литература

• Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант. — 1983. — № 7. — С. 2—7.