Кватернион: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Klip game (обсуждение | вклад) |
MBHbot (обсуждение | вклад) м удаление ненужных служебных символов, см. ВП:РДБ, removed: |
||
Строка 13: | Строка 13: | ||
: <math>q=a+bi+cj+dk</math> |
: <math>q=a+bi+cj+dk</math> |
||
где <math>a, b, c, d</math> — вещественные числа |
где <math>a, b, c, d</math> — вещественные числа |
||
: <math>i, j, k</math> — ''[[Мнимая единица|мнимые единицы]]'' со следующим свойством: <math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>, при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является [[коммутативная операция|коммутативным]]): <math>ij=k</math>, a <math>ji=-k</math>. |
: <math>i, j, k</math> — ''[[Мнимая единица|мнимые единицы]]'' со следующим свойством: <math>i^2=j^2=k^2=ijk=-1</math>, при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является [[коммутативная операция|коммутативным]]): <math>ij=k</math>, a <math>ji=-k</math>. |
||
Таблица умножения ''[[базис]]ных кватернионов'' — <math>1, i, j, k</math> — выглядит так: |
Таблица умножения ''[[базис]]ных кватернионов'' — <math>1, i, j, k</math> — выглядит так: |
||
Строка 143: | Строка 143: | ||
<math> \mathbb R</math>, <math> \mathbb C</math>, <math> \mathbb H</math> |
<math> \mathbb R</math>, <math> \mathbb C</math>, <math> \mathbb H</math> |
||
являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением |
являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением |
||
над полем вещественных чисел<ref> |
над полем вещественных чисел<ref>[[Теорема Фробениуса]]</ref>. |
||
Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. |
Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. |
||
Строка 327: | Строка 327: | ||
что полностью аналогично использованию операторов <math>\frac{\partial}{\partial \bar z}</math> и <math>\frac{\partial}{\partial z}</math> в комплексном случае. При этом получаются аналоги [[Интегральная теорема Коши|интегральной теоремы Коши]], теории [[Вычет (комплексный анализ)|вычетов]], [[Гармоническая функция|гармонических функций]] и [[Ряд Лорана|рядов Лорана]] для кватернионных функций<ref>''A. Sudbery'' Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, |
что полностью аналогично использованию операторов <math>\frac{\partial}{\partial \bar z}</math> и <math>\frac{\partial}{\partial z}</math> в комплексном случае. При этом получаются аналоги [[Интегральная теорема Коши|интегральной теоремы Коши]], теории [[Вычет (комплексный анализ)|вычетов]], [[Гармоническая функция|гармонических функций]] и [[Ряд Лорана|рядов Лорана]] для кватернионных функций<ref>''A. Sudbery'' Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, |
||
University of York, 1977.</ref>. |
University of York, 1977.</ref>. |
||
=== Дифференцирование отображений === |
=== Дифференцирование отображений === |
||
Строка 418: | Строка 417: | ||
== Из истории == |
== Из истории == |
||
[[Файл:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|thumb|<center>Памятная табличка на мосту Брум Бридж в [[Дублин]]е: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр [[Гамильтон, Уильям Роуан|Уильям Роуэн Гамильтон]] открыл формулу перемножения кватернионов»<ref>В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (''Л. С. Полак'' Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104) |
[[Файл:William Rowan Hamilton Plaque - geograph.org.uk - 347941.jpg|thumb|<center>Памятная табличка на мосту Брум Бридж в [[Дублин]]е: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр [[Гамильтон, Уильям Роуан|Уильям Роуэн Гамильтон]] открыл формулу перемножения кватернионов»<ref>В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (''Л. С. Полак'' Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)</ref></center>]] |
||
Система кватернионов была впервые опубликована [[Гамильтон, Уильям Роуан|Гамильтоном]] в [[1843 год]]у. |
Система кватернионов была впервые опубликована [[Гамильтон, Уильям Роуан|Гамильтоном]] в [[1843 год]]у. |
||
Строка 432: | Строка 431: | ||
== Современное применение == |
== Современное применение == |
||
В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в [[квантовая механика|квантовой механике]]<ref>{{книга|автор=Курочкин Ю. А. |заглавие=Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109|издание=ИФ АН БССР |год=1976}}</ref> и [[теория относительности|теории относительности]]<ref name=ALEX>{{книга|автор=Александрова Н. В. |часть=Исчисление кватернионов Гамильтона |заглавие=''Гамильтон У. Р.'' Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы |издательство=Наука |место=М. |год=1994 |серия=Классики науки}}— С. 519—534.</ref>. Реальное применение кватернионы нашли в современной [[компьютерная графика|компьютерной графике и программировании игр]]<ref>{{книга|автор=Побегайло А. П.|заглавие=Применение кватернионов в компьютерной |
В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в [[квантовая механика|квантовой механике]]<ref>{{книга|автор=Курочкин Ю. А. |заглавие=Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109|издание=ИФ АН БССР |год=1976}}</ref> и [[теория относительности|теории относительности]]<ref name=ALEX>{{книга|автор=Александрова Н. В. |часть=Исчисление кватернионов Гамильтона |заглавие=''Гамильтон У. Р.'' Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы |издательство=Наука |место=М. |год=1994 |серия=Классики науки}}— С. 519—534.</ref>. Реальное применение кватернионы нашли в современной [[компьютерная графика|компьютерной графике и программировании игр]]<ref>{{книга|автор=Побегайло А. П.|заглавие=Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике|место=Минск|издательство=Изд-во БГУ |год=2010 |страниц=216 |isbn=978-985-518-281-9 }}.</ref>, а также в [[вычислительная механика|вычислительной механике]]<ref name="wittenburg">{{книга|автор=Виттенбург Й.|заглавие=Динамика систем твёрдых тел|место=М.|издательство=Мир|год=1980|страниц=292}} — С. 25—26, 34—36.</ref><ref name="pogorelov">{{книга|автор=Погорелов Д. Ю.|заглавие=Введение в моделирование динамики систем тел|место=Брянск|издательство=Изд-во БГТУ|год=1997|страниц=156|isbn=5-230-02435-6}}. — С. 22—26, 31—36.</ref>, в [[инерциальная навигация|инерциальной навигации]] и [[теория управления|теории управления]]<ref>{{книга|автор=[[Ишлинский, Александр Юльевич|Ишлинский А. Ю.]]|заглавие=Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация|место=М.|издательство=Наука|год=1976|страниц=672}} — С. 87—103, 593—604.</ref><ref>{{cite web|url=http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/366/ru/pdf/07-10.pdf|title=Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени|last=Чуб В. Ф.|accessdate=2013-12-09}}</ref>. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»<ref>[http://hypercomplex.xpsweb.com/section.php?lang=ru&genre=3 Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»]</ref>. |
||
Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется [[Матрица (математика)|матричное исчисление]]<ref>{{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Лекции о развитии математики в XIX столетии |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu |том=I |издательство=ГОНТИ |место=М.-Л. |год=1937 |страницы=229—231. |страниц=432}}</ref>. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи ''минимального'' числа скалярных параметров, использование [[параметры Родрига — Гамильтона|параметров Родрига — Гамильтона]] (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, [[углы Эйлера|углами Эйлера]]) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается<ref name="wittenburg" /><ref name="pogorelov" />. |
Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется [[Матрица (математика)|матричное исчисление]]<ref>{{книга |автор=[[Клейн, Феликс|Клейн Ф.]] |заглавие=Лекции о развитии математики в XIX столетии |ссылка=http://www.math.ru/lib/book/djvu/klassik/razvitie.djvu |том=I |издательство=ГОНТИ |место=М.-Л. |год=1937 |страницы=229—231. |страниц=432}}</ref>. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи ''минимального'' числа скалярных параметров, использование [[параметры Родрига — Гамильтона|параметров Родрига — Гамильтона]] (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, [[углы Эйлера|углами Эйлера]]) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается<ref name="wittenburg" /><ref name="pogorelov" />. |
Версия от 09:23, 10 июня 2018
Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.
Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.[1]
Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»[2].
Определения
Стандартное
Кватернионы можно определить как сумму
где — вещественные числа
- — мнимые единицы со следующим свойством: , при этом результат их попарного произведения зависит от порядка следования (не является коммутативным): , a .
Таблица умножения базисных кватернионов — — выглядит так:
Как вектор и скаляр
Кватернион представляет собой пару где — вектор трёхмерного пространства, а — скаляр, то есть вещественное число.
Операции сложения определены следующим образом:
Произведение определяется следующим образом:
где обозначает скалярное произведение, а — векторное произведение.
В частности,
Заметим, что:
- Алгебраические операции в кватернионах обладают свойством дистрибутивности;
- Антикоммутативность векторного произведения влечёт некоммутативность произведения кватернионов.
Через комплексные числа
Произвольный кватернион можно представить как пару комплексных чисел в виде
или эквивалентно
где — комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .
Через матричные представления
Вещественными матрицами
Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:
При такой записи:
- сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:
- ;
- четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:
- .
Комплексными матрицами
Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:
здесь и обозначают комплексно-сопряжённые числа к и .
Такое представление имеет несколько замечательных свойств:
- комплексному числу соответствует диагональная матрица;
- сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:
- ;
- квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:
- .
Связанные объекты и операции
Для кватерниона
кватернион называется скалярной частью а кватернион — векторной частью. Если то кватернион называется чисто скалярным, а при — чисто векторным.
Сопряжение
Для кватерниона сопряжённым называется:
Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:
Для кватернионов справедливо равенство
Модуль
Так же, как и для комплексных чисел,
называется модулем . Если то называется единичным кватернионом.
В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: .
Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное с евклидовой метрикой.
Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.
Из тождества четырёх квадратов вытекает, что иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.
Обращение умножения (деление)
Кватернион, обратный по умножению к , вычисляется так: .
Алгебраические свойства
Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:
- .
Множество кватернионов является примером кольца с делением.
Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел. Вообще , , являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел[3].
Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.
Кватернионы и повороты пространства
Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над , образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно может быть записан в виде , где и — пара единичных кватернионов, при этом пара определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — и . Из этого следует, что группа Ли поворотов есть факторгруппа , где обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.
Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно может быть записан в виде , где — некоторый единичный кватернион. Соответственно, , в частности, диффеоморфно .
«Целые» кватернионы
В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: .
Целыми по Гурвицу принято называть кватернионы такие, что все — целые и одинаковой чётности.
Целый кватернион называется
- чётным
- нечётным
- простым
если таким же свойством обладает его норма.
Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме , нацело (иными словами, ).
Целые единичные кватернионы
Существует 24 целых единичных кватерниона:
- ; ; ; ; .
Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4х-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3х-мерным многогранником-кубооктаэдром).
Разложение на простые сомножители
Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.
Теорема.[4] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона в произведение простых целых положительных чисел существует разложение кватерниона в произведение простых кватернионов такое, что . Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид
- ,
где , , , … — целые единичные кватернионы.
Например, примитивный кватернион имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:
Общее число разложений такого кватерниона равно
Функции кватернионного переменного
Вспомогательные функции
Знак кватерниона вычисляется так:
- .
Аргумент кватерниона — это угол в четырёхмерном пространстве между кватернионом и вещественной единицей:
- .
В дальнейшем используется представление заданного кватерниона в виде
Здесь — вещественная часть кватерниона, . При этом , поэтому проходящая через и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид для фиксированного единичного вектора . В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.
Элементарные функции
Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если для комплексных чисел, то , где кватернион рассматривается в «комплексном» представлении .
- Степень и логарифм
Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до .
- Тригонометрические функции
Линейное отображение
Отображение алгебры кватернионов называется линейным, если верны равенства
где — поле действительных чисел. Если является линейным отображением алгебры кватернионов, то для любых отображение
является линейным отображением. Если — тождественное отображение (), то для любых мы можем отождествить тензорное произведение с отображением
Для любого линейного отображения существует тензор , , такой, что
В приведенных выше равенствах предполагается суммирование по индексу . Поэтому мы можем отождествить линейное отображение и тензор .
Регулярные функции
Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию как имеющую предел
Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки вид
где — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов
и рассмотрении таких кватернионных функций , для которых[5]
что полностью аналогично использованию операторов и в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[6].
Дифференцирование отображений
Непрерывное отображение называется дифференцируемым на множестве , если в каждой точке изменение отображения может быть представлено в виде
где
линейное отображение алгебры кватернионов и такое непрерывное отображение, что
Линейное отображение называется производной отображения .
Производная может быть представлена в виде[7]
Соответственно дифференциал отображения имеет вид
- df=
Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения и называются компонентами производной.
Для произвольного кватерниона верно равенство
Виды умножений
Умножение Грассмана
Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ().
Евклидово умножение
Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: . Оно также некоммутативно.
Скалярное произведение
Аналогично одноимённой операции для векторов:
- .
Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, .
Определение модуля кватерниона можно видоизменить:
- .
Внешнее произведение
- .
Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.
Векторное произведение
Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:
- .
Из истории
Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 1819—1820 годам.[9]
Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.
Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.
Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.[10] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).
Современное применение
В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике[11] и теории относительности[12]. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр[13], а также в вычислительной механике[14][15], в инерциальной навигации и теории управления[16][17]. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»[18].
Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление[19]. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается[14][15].
Как алгебра над , кватернионы образуют вещественное векторное пространство , снабжённое тензором третьего ранга типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, отображает каждую 1-форму на и пару векторов из в вещественное число . Для любой фиксированной 1-формы превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы , а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского[20]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику[21] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации[22].
См. также
Примечания
- ↑ Кватернионы в программировании игр (GameDev.ru)
- ↑ Полак Л. С. Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения) // Труды Института истории естествознания. — АН СССР, 1956. — Т. 15 (История физ.-мат. наук). — С. 273..
- ↑ Теорема Фробениуса
- ↑ John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Дата обращения: 7 февраля 2009. Архивировано 22 августа 2011 года.
- ↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.
- ↑ A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.
- ↑ Выражение не является дробью и должно восприниматься как единный символ. Данное обозначение предложено для совместимости с обозначением производной. Значение выражения при заданном является кватернионом.
- ↑ В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (Л. С. Полак Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)
- ↑ Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 68.
- ↑ А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.
- ↑ Курочкин Ю. А. Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109. — ИФ АН БССР. — 1976.
- ↑ Александрова Н. В. Исчисление кватернионов Гамильтона // Гамильтон У. Р. Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы. — М.: Наука, 1994. — (Классики науки).— С. 519—534.
- ↑ Побегайло А. П. Применение кватернионов в компьютерной геометрии и графике. — Минск: Изд-во БГУ, 2010. — 216 с. — ISBN 978-985-518-281-9..
- ↑ 1 2 Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. — М.: Мир, 1980. — 292 с. — С. 25—26, 34—36.
- ↑ 1 2 Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел. — Брянск: Изд-во БГТУ, 1997. — 156 с. — ISBN 5-230-02435-6.. — С. 22—26, 31—36.
- ↑ Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. — 672 с. — С. 87—103, 593—604.
- ↑ Чуб В. Ф. Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени . Дата обращения: 9 декабря 2013.
- ↑ Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»
- ↑ Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.—Л.: ГОНТИ, 1937. — Т. I. — С. 229—231.. — 432 с.
- ↑ Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
- ↑ Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
- ↑ Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
Литература
- И. Л. Кантор, А. С. Солодовников Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 144 с.
- Мищенко А., Соловьев Ю. Кватернионы, — Квант, N9, 1983.
- Martin John Baker EuclideanSpace.com — применение кватернионов в 3D графике.
- Кватернионы. Кватеры.
- Ватульян А. О. Кватернионы // Соросовский образовательный журнал. — 1999. — № 5. — С. 117-120.
- Джон Х.Конвей, Дерек А.Смит. О кватернионах и октавах: об их геометрии, арифметике и симметриях. - М.: МЦНМО, 2009. - 184 с. ISBN 978-5-94057-517-7