Комплексное число

Запрос «Комплексные числа» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Ко́мпле́ксные чи́сла — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается $\mathbb {C}$. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма $x+iy$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, $i$ — мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению $i^{2}=-1$.

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен $z^{2}+1$ имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел $\mathbb {R}$, как и любые другие конструкции поля разложения многочлена $z^{2}+1$.

Стандартная модель

Формально, комплексное число $z$ — это упорядоченная пара вещественных чисел $(x,y)$ с введёнными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

• $(x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y');$
• $(x,\;y)\cdot (x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx').$

Вещественные числа представлены в этой модели парами вида $(x,\;0)$, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Мнимая единица в такой системе представляется парой $i=(0,\;1)$.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа и при этом сохранив обычные свойства порядка, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

${\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}$

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},$

мнимой единице —

${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.$

Замечания

• Ошибочно определение числа $i$ как единственного числа, удовлетворяющего уравнению $x^{2}=-1$, так как число $(-i)$ также удовлетворяет этому уравнению.
• Следует также заметить, что выражение ${\sqrt {-1}}$, ранее часто использовавшееся вместо $i$, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде $5+{\sqrt {-3}}$ считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как $5+i{\sqrt {3}}$. Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

${\sqrt {-3}}\cdot {\sqrt {-3}}={\sqrt {(-3)\cdot (-3)}}={\sqrt {9}}=3$, в то время как правильный ответ: $-3$.

Действия над комплексными числами

• Сравнение

  $a+bi=c+di$ означает, что $a=c$ и $b=d$ (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

  $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.$

• Вычитание

  $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.$

• Умножение

  $(a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i.$

• Деление

  ${\frac {(a+bi)}{(c+di)}}=\left({\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\right)+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i.$

Связанные определения

Пусть $x$ и $y$ — вещественные числа такие, что комплексное число $z=x+iy$ (обычные обозначения). Тогда

• Числа $x=\Re (z)$ или $\mathrm {Re} \,z$ и $y=\Im (z)$ или $\mathrm {Im} \,z$ называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями $z$.
  • Если $x=0$, то $z$ называется мнимым или чисто мнимым.
• Число $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ называется модулем числа $z$. Для вещественного числа модуль совпадает с его абсолютной величиной. Некоторые свойства модуля:

  $|z|\geqslant 0$, причём $|z|=0$ тогда и только тогда, когда $z=0$;

  $|z_{1}+z_{2}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|$ (неравенство треугольника);

  $|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|;$

  $\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}.$

• Угол $\varphi$ такой, что: $\cos \varphi ={\frac {x}{|z|}}$ и $\sin \varphi ={\frac {y}{|z|}}$, называется аргументом $z$. Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа $z$ аргумент определяется с точностью до $2k\pi$, где $k$ — любое целое число. Из определения следует, что $\mathrm {tg} \,\varphi ={\frac {y}{x}}$.

Сопряжённые числа

Если комплексное число $z=x+iy$, то число ${\bar {z}}=x-iy$ называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к $z$ (обозначается также $z^{*}$).

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

• ${\bar {\bar {z}}}=z$ (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
• $z\cdot {\bar {z}}=|z|^{2}.$
• ${\overline {z_{1}\pm z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\pm {\bar {z}}_{2}.$
• ${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}.$
• ${\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2}.$

Обобщение: ${\overline {p(z)}}=p({\bar {z}})$, где $p(z)$ — произвольный комплексный многочлен.

• $|{\bar {z}}|=|z|$ (модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного).
• $\mathrm {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}};\quad \mathrm {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.$

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа $z$ в виде $x+iy$, $x,\;y\in \mathbb {R}$, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что $i^{2}=-1$):

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d);$

$(a+ib)\cdot (c+id)=ac+iad+ibc+i^{2}bd=ac+iad+ibc-bd=(ac-bd)+i(ad+bc).$

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную $x$ и мнимую $y$ части комплексного числа выразить через модуль $r=|z|$ и аргумент $\varphi$ ($x=r\cos \varphi$, $y=r\sin \varphi$), то всякое комплексное число $z$, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).$

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

$z=re^{i\varphi },$

где $e^{i\varphi }$ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

$\cos \varphi ={\frac {(e^{i\varphi }+e^{-i\varphi })}{2}};\quad \sin \varphi ={\frac {(e^{i\varphi }-e^{-i\varphi })}{2i}}.$

Геометрическое представление

Геометрическое представление комплексного числа

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами $x$ и $y$ (или её радиус-вектор, что то же самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки. Такая плоскость называется комплексной.

Отметим, что для пары комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$ модуль их разности $|z_{1}-z_{2}|$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Сопряжённые комплексные числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний.

Формула Муавра

Основная статья: Формула Муавра

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула позволяет возводить в степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

$z^{n}=[r(\cos \varphi +i\sin \varphi )]^{n}=r^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ),$

где $r$ — модуль, а $\varphi$ — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней $n$-ой степени из ненулевого комплексного числа:

$z^{1/n}=[r(\cos(\varphi +2\pi k)+i\sin(\varphi +2\pi k))]^{1/n}=$

$=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),$

$k=0,\;1,\;\ldots ,\;n-1.$

Отметим, что корни $n$-й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно $n$. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса ${\sqrt[{n}]{r}}$ с центром в начале координат (см. рисунок).

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами.

Выражения вида $a+b{\sqrt {-1}}$, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени $n$ из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ $i={\sqrt {-1}}$ предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, алгебра которых некоммутативна.

Функции комплексного переменного

Основная статья: Комплексная функция

• Гамма-функция
• Гиперболические функции
• Дзета-функция Римана
• Комплексный анализ
• Комплексный логарифм
• Показательная функция
• Степенная функция
• W-функция Ламберта

См. также

• Кватернионы
• Гиперкомплексные числа — конечномерные алгебры над полем вещественных чисел.
• Комплексная функция
• Комплексный анализ

Ссылки

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002
• Елисеев В. И. «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», Центр научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М.:, НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Простой калькулятор комплексных чисел
• Калькулятор комплексных чисел онлайн
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. II. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0, 5-9221-0155-2, 5-9221-0436-5..
• CaRevol Jet — Формульный калькулятор комплексных чисел под Windows.