Алгебра Кэли

А́лгебра Кэ́ли — определённый тип гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел. Обычно обозначается $\mathbb {O}$, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

Число Кэли — это линейная комбинация элементов $~\{1,i,j,k,l,il,jl,kl\}$. Каждая октава x может быть записана в форме

$x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl.$

с вещественными коэффициентами $~x_{i}$. Таблица умножения элементов октавы:

1	i	j	k	l	il	jl	kl
i	−1	k	−j	il	−l	−kl	jl
j	−k	−1	i	jl	kl	−l	−il
k	j	−i	−1	kl	−jl	il	−l
l	−il	−jl	−kl	−1	i	j	k
il	l	−kl	jl	−i	−1	−k	j
jl	kl	l	−il	−j	k	−1	−i
kl	−jl	il	l	−k	−j	i	−1

Свойства

• По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.
• Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Сопряжение и норма

Пусть дан октонион

$x=x_{0}+x_{1}\,i+x_{2}\,j+x_{3}\,k+x_{4}\,l+x_{5}\,il+x_{6}\,jl+x_{7}\,kl$

Операция сопряжения октониона $x$ определена равенством

$x^{*}=x_{0}-x_{1}\,i-x_{2}\,j-x_{3}\,k-x_{4}\,l-x_{5}\,il-x_{6}\,jl-x_{7}\,kl.$

Операция сопряжения удовлетворяет равенствам

$(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$

$x^{*}=-{\frac {1}{6}}(x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl))$

Действительная часть октониона $x$ определена равенством

${\frac {1}{2}}(x+x^{*})=x^{0}$

и мнимая часть октониона $x$ определена равенством

${\frac {1}{2}}(x-x^{*})$

Норма октониона $x$ определена равенством

$\|x\|={\sqrt {x^{*}x}}$.

Непосредственной проверкой можно убедиться, что норма положительное действительное число

$\|x\|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}.$

Следовательно, $\|x\|=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$.

Из равенства

${\frac {1}{\|x\|^{2}}}(xx^{*})=1$

следует, что кватернион $x\neq 0$ обратим и

$x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}.$

История

Впервые рассмотрена в 1843 Грейвсом, приятелем Гамильтона, а двумя годами позже независимо Кэли.