Число Маха

Самолёт FA-18 Hornet, движущийся с околозвуковой скоростью. Наблюдается эффект Прандтля — Глоерта

Число́ Ма́ха (${\mathsf {M}}$) — в механике сплошных сред — один из критериев подобия в механике жидкости и газа. Представляет собой отношение скорости течения в данной точке газового потока к местной скорости распространения звука в движущейся среде — назван по имени австрийского учёного Эрнста Маха (нем. E. Mach).

Историческая справка

Название число Маха и обозначение М предложил в 1929 году Якоб Аккерет (J.Ackeret). Ранее в литературе встречалось название число Берстоу (Bairstow, обозначение ${\mathsf {Ba}}$), а в советской послевоенной научной литературе и, в частности, в советских учебниках пятидесятых годов — название число Маевского (число Маха — Маевского) по имени основателя русской научной школы баллистики, пользовавшегося этой величиной, вместе с этим обозначение ${\mathsf {M}}$ употребляется без специального названия, это частные проявления кампании «борьбы с космополитизмом».

Число Маха в газовой динамике

Число Маха

${\mathsf {M}}={\frac {v}{a}},$

где $v$ — скорость потока, а $a$ — местная скорость звука,

является мерой влияния сжимаемости среды в потоке данной скорости на его поведение: из уравнения состояния идеального газа следует, что относительное изменение плотности (при постоянной температуре) пропорционально изменению давления:

${\frac {d\rho }{\rho }}\sim {\frac {dp}{p}},$

из закона Бернулли разность давлений в потоке $dp\sim \rho v^{2}$, то есть относительное изменение плотности:

${\frac {d\rho }{\rho }}\sim {\frac {dp}{p}}\sim {\frac {\rho v^{2}}{p}}.$

Поскольку скорость звука $a\sim {\sqrt {p/\rho }}$, то относительное изменение плотности в газовом потоке пропорционально квадрату числа Маха:

${\frac {d\rho }{\rho }}\sim {\frac {v^{2}}{a^{2}}}={\mathsf {M}}^{2}.$

Наряду с числом Маха используются и другие характеристики безразмерной скорости течения газа:

коэффициент скорости

$\lambda ={\frac {v}{v_{K}}}={\sqrt {\frac {\gamma +1}{2}}}{\mathsf {M}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\mathsf {M}}^{2}\right)^{-1/2}$

и безразмерная скорость

$\Lambda ={\frac {v}{v_{\max }}}={\sqrt {\frac {\gamma -1}{2}}}{\mathsf {M}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\mathsf {M}}^{2}\right)^{-1/2},$

где $v_{K}$ — критическая скорость,

$v_{\max }$ — максимальная скорость в газе,

$\gamma ={\frac {c_{p}}{c_{v}}}$ — показатель адиабаты газа, равный отношению удельных теплоёмкостей газа при постоянных давлении и объёме соответственно.

Важность величины числа Маха

Важное значение числа Маха объясняется тем, что оно определяет, превышает ли скорость течения газовой среды (или движения в газе тела) скорость звука или нет. Сверхзвуковые и дозвуковые режимы движения имеют принципиальные различия, для авиации это различие выражается в том, что при сверхзвуковых режимах возникают узкие слои быстрого значительного изменения параметров течения (ударные волны), приводящие к росту сопротивления тел при движении, концентрации тепловых потоков у их поверхности и возможности прогорания корпуса тел и т. п.

Предельно упрощённое объяснение числа Маха

Для понимания числа Маха неспециалистами очень упрощённо можно сказать, что численное выражение числа Маха зависит, прежде всего, от высоты полёта (чем больше высота, тем ниже скорость звука и выше число Маха). Число Маха — это истинная скорость в потоке (то есть скорость, с которой воздух обтекает, например, самолёт), делённая на скорость звука в конкретной среде, поэтому зависимость является обратно пропорциональной. У земли скорость, соответствующая 1 Маху, будет равна приблизительно 340 м/с (скорость, с которой люди привычно считают расстояние приближающейся грозы, измеряя время от вспышки молнии до дошедших раскатов грома) или 1224 км/ч. На высоте 11 км из-за падения температуры скорость звука ниже — около 295 м/с или 1062 км/ч.

Такое объяснение не может использоваться для каких бы то ни было математических расчётов скорости или иных математических операций по аэродинамике.

См. также

• Газовая динамика
• Сверхзвуковая скорость
• Мах, Эрнст
• Список параметров атмосферы стандартной

Литература

• Число Маха // Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
• ГОСТ 25431-82 Таблица динамических давлений и температур торможения воздуха в зависимости от числа Маха