Трансцендентное число

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами (не равного тождественно нулю).

Свойства

Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств, трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально, а множество алгебраических счётно.

Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число ${\sqrt {2}}$ — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения $x^{2}-2=0$ (и потому является алгебраическим).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.

1. Если $t$ — трансцендентное число, то $-t$ и $1/t$ также трансцендентны.
2. Если $a$ — алгебраическое число, не равное 0, а $t$ — трансцендентное, то $a\pm t,\ at,\ a/t,\ t/a$ трансцендентны.
3. Если $t$ — трансцендентное число, а $n$ — целое и не равно 0, то $t^{n}$ и ${\sqrt[{n}]{t}}$ трансцендентны.

Мера иррациональности почти всякого трансцендентного числа равна 2.

Примеры трансцендентных чисел

• Число $\pi$.
• Число $e$.
• Десятичный логарифм любого натурального числа, кроме чисел вида $10^{\pm n}$.
• $\sin a,\cos a$ и $\mathrm {tg} \,a$, для любого ненулевого алгебраического числа $a$ (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).

История

См. также: Теория трансцендентных чисел

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа $\pi$ и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если $a\neq 0,1$, $a$ — алгебраическое число, и $b$ — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что $a^{b}$ — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число $2^{\sqrt {2}}$. Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщения

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Некоторые открытые проблемы

• Неизвестно, является ли число $\ln \pi$ рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным.

• Неизвестна мера иррациональности для чисел $\ln 2,\ln 3$.

См. также

• Кольцо периодов

Литература

• Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант. — 1983. — № 7. — С. 2—7.