Бесконечная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Бесконечная группа — группа с бесконечным числом элементов, в противоположность конечным группам. Первое исследование бесконечных групп восходит к Жордану (1870).[источник не указан 803 дня]

Топологические группы

[править | править код]

Бесконечные группы часто предполагаются топологическими — то есть снабжёнными топологией, согласованной с операциями умножения и взятия обратного элемента. В таком случае можно выделить два противоположных подкласса групп — дискретные группы и связные группы. Примером дискретной бесконечной группы является бесконечная циклическая группа с естественной, то есть дискретной, топологией. Примером связной бесконечной группы является () — конечномерное векторное пространство на вещественными (или комплексными) числами.

При этом «дискретная часть» топологической группы — то есть группа её компонент связности — является дискретной (не обязательно бесконечной) группой, в то время как её «непрерывная часть» — компонента связности единицы группы — является связной (и также не обязательно бесконечной) группой. Сама группа не полностью определяется «дискретной» и «непрерывной» компонентами, а именно не обязательно является их прямым произведением. Например, группа рациональных чисел вполне несвязна, а потому её «непрерывная часть» тривиальна, но группа не изоморфна своей «дискретной части» — счётна, но не дискретна. Аналогичным свойством обладает любая проконечная группа.

Часто используемый класс бесконечных топологических групп — это группы Ли размерности больше 0. Нестрого говоря, это группы, локально выглядящие как конечномерное вещественное (или комплексное) векторное пространство (размерности больше 0). Строгое определение использует понятие гладкого или алгебраического многообразия: на группе должна быть введена структура такого многообразия, так что операции умножения и взятия обратного элемента согласованы с этой структурой.

Примеры групп Ли (и гладких, и алгебраических одновременно) — это общая линейная группа , то есть группа вещественных матриц на с ненулевым определителем, и её подгруппа специальная ортогональная группа , состоящая из ортогональных матриц с определителем 1.

При этом «дискретная часть» группы Ли (группа её компонент связности), обязательно конечна, в то время как «непрерывная часть» (компонента связности единицы) группы Ли размерности больше 0, напротив, бесконечна. Тем не менее, группа Ли не обязательно является их полупрямым произведением[1].

С физической точки зрения

[править | править код]

Элементы многих бесконечных групп, встречающихся в физике, нумеруются вещественными параметрами, изменяющимися непрерывно. Каждый элемент g n-параметрической бесконечной группы можно записать в виде: , где  — n вещественных чисел. Для бесконечной группы отсутствует таблица Кэли. Если , то n параметров являются функциями от параметров . Таким образом, аналогом таблицы Кэли для бесконечной группы является набор из n вещественных функций, каждая из которых зависит от 2n вещественных переменных . Элементы бесконечной группы должны удовлетворять четырём обычным условиям принадлежности к группе:

  1. Произведение любых двух элементов группы должно быть элементом группы.
  2. Умножение элементов ассоциативно: .
  3. Имеется единичный элемент группы g(1), так что для всех g(x) выполняется
  4. Каждый элемент имеет единственный обратный, те для каждого g(x) имеется единственный элемент группы , такой что .

Из требования (2), выраженного через функции f(x, y), следует, что равенство выполняется для всех x, y, z.

Например, преобразования Лоренца образуют бесконечную группу. Элементы этой группы нумеруются вещественным параметром — скоростью инерциальной системы отсчёта. Произведение двух преобразований Лоренца с параметрами и есть преобразование Лоренца с параметром  — релятивистский закон сложения скоростей.[2]

Вращения твёрдого тела вокруг всевозможных осей, проходящих через некоторую фиксированную точку, образуют бесконечную группу вращений. Элементы этой группы нумеруются набором вещественных чисел — углами Эйлера.[3]

Примечания

[править | править код]
  1. Lie Group Decomposition as Semidirect Product of Connected and Discrete Groups Архивная копия от 14 апреля 2019 на Wayback Machine // Math.StackExchange
  2. Любарский Г. Я. Теория групп и физика. — М., Наука, 1986. — c. 95
  3. Любарский Г. Я. Теория групп и физика. — М., Наука, 1986. — c. 70-71

Литература

[править | править код]
  • Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. — Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
  • Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. — Мир, 1974.