Прямое произведение групп

Прямое произведение групп — операция, которая по группам $G$ и $H$ строит новую группу, обычно обозначающуюся как $G\times H$. Эта операция является теоретико-групповым аналогом декартова произведения множеств и одним из основных примеров понятия прямого произведения.

В контексте абелевых групп прямое произведение иногда называют прямой суммой и обозначают $G\oplus H$. Прямые суммы играют важную роль в классификации абелевых групп: согласно теореме о структуре конечнопорождённых абелевых групп, любая конечнопорождённая абелева группа может быть разложена в прямую сумму циклических групп.

Определение

Если $G$ и $H$ — группы с операциями $*$ и $\triangle$ соответственно, то прямое произведение $G\times H$ определяется следующим образом:

1. Множеством является декартово произведение, $G\times H$. Его элементами являются упорядоченные пары $(g,h)$, где $g\in G$ и $h\in H$.
2. Бинарная операция $\cdot$ на $G\times H$ определяется покомпонентно:

   $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}\triangle h_{2})$

Полученный алгебраический объект удовлетворяет аксиомам группы:

Ассоциативность бинарной операции

Бинарная операция на $G\times H$ ассоциативна, что проверяется покомпонентно.

Существование единичного элемента

Прямое произведение имеет единичный элемент $1_{G\times H}=(1_{G},1_{H})$, где $1_{G}$ — единичный элемент $G$ и $1_{H}$ — единичный элемент $H$.

Существование обратного элемента

Обратный элемент к элементу $(g,h)$ в $G\times H$ — это пара $(g^{-1},h^{-1})$, где $g^{-1}$ является обратным к $g$ в $G$, а $h^{-1}$ — обратным к $h$ в $H$.

Примеры

• Пусть $\mathbb {R}$ — группа вещественных чисел с операцией сложения. Тогда прямое произведение $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ — группа всех двухкомпонентных векторов $(x,y)$ с операцией сложения векторов:

  $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$.

• Пусть $\mathbb {R^{+}}$ — группа положительных вещественных чисел с операцией умножения. Тогда прямое произведение $\mathbb {R^{+}} \times \mathbb {R^{+}}$ — это группа всех векторов в первой координатной четверти с операцией покомпонентного умножения:

  $(x_{1},y_{1})\times (x_{2},y_{2})=(x_{1}\times x_{2},y_{1}\times y_{2})$.

• Пусть $G$ и $H$ — циклические группы, каждая из которых содержит два элемента:

• $G$

  *	1	a
  1	1	a
  a	a	1

• $H$

  *	1	b
  1	1	b
  b	b	1

Тогда прямое произведение $G\times H$ изоморфно четверной группе Клейна:

$G\times H$

*	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a, b)
(1,1)	(1,1)	(a,1)	(1,b)	(a, b)
(a,1)	(a,1)	(1,1)	(a, b)	(1,b)
(1,b)	(1,b)	(a, b)	(1,1)	(a,1)
(a, b)	(a, b)	(1,b)	(a,1)	(1,1)

Элементарные свойства

• Порядок прямого произведения $G\times H$ конечных групп равен произведению порядков этих групп $G$ и $H$:

  $|G\times H|=|G||H|$.

  Это следует из формулы мощности декартова произведения множеств.
• Порядок каждого элемента $(g,h)$ является наименьшим общим кратным порядков $g$ и $h$:

  $\operatorname {ord} ((g,h))=lcm(\operatorname {ord} (g),\operatorname {ord} (h))$.

  В частности, если $\operatorname {ord} (g)$ и $\operatorname {ord} (h)$ являются взаимно простыми, то порядок $(g,h)$ равен произведению порядков $g$ и $h$.
• Как следствие, если $G$ и $H$ — циклические группы, порядки которых являются взаимно простыми числами, то прямое произведение $G\times H$ также является циклической группой. А именно, если $m$ и $n$ взаимно просты, то

  $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z}$.

  Этот факт является вариантом китайской теоремой об остатках.
• Прямое произведение можно рассмотреть как операцию на группах. Эта операция коммутативна и ассоциативна с точностью до изоморфизма: $G\times H\cong H\times G$ и $(G\times H)\times K\cong G\times (H\times K)$ для любых групп $G$, $H$, и $K$. Тривиальная группа является её единичным элементом с точностью до изоморфизма, то есть, если $E$ — тривиальная группа, то $G\cong G\times E\cong E\times G$ для любой группы $G$.

Алгебраическая структура

Пусть $G$ и $H$ — группы, а $P=G\times H$. Рассмотрим следующие два подмножества $P$:

$G^{\prime }=\{(g,1):g\in G\}$ и $H^{\prime }=\{(1,h):h\in H\}$.

Оба эти подмножества являются подгруппами $P$, при этом $G^{\prime }$ канонически изоморфна $G$, а $H^{\prime }$ канонически изоморфна $H$. Если мы отождествим их с $G$ и $H$ соответственно, то мы сможем считать, что прямое произведение $P$ содержит исходные группы $G$ и $H$ в качестве подгрупп.

Указанные подгруппы обладают следующими тремя важными свойствами:

1. Пересечение $G\cap H$ тривиально.
2. Каждый элемент из $P$ можно однозначно представить как произведение элемента из $G$ и элемента из $H$.
3. Каждый элемент из $G$ коммутирует с каждым элементом из $H$.

Вместе эти три свойства полностью определяют алгебраическую структуру прямого произведения $P$. Иными словами, если $P$ — любая группа, имеющая подгруппы $G$ и $H$, удовлетворяющие вышеуказанным свойствам, то $P$ изоморфна прямому произведению $G$ и $H$. В этой ситуации $P$ иногда называют внутренним прямым произведением её подгрупп $G$ и $H$.

В некоторых случаях третье из приведённых свойств заменяется следующим:

3′. $G$ и $H$ нормальны в $P$.

Это свойство эквивалентно свойству 3, поскольку элементы двух нормальных подгрупп с тривиальным пересечением обязательно коммутируют, что можно доказать, рассматривая коммутатор $[g,h]$, где $g$ — любой элемент в $G$, а $h$ — любой элемент в $H$.

Примеры внутреннего прямого произведения

• Пусть $V$ — четверная группа Клейна:

  V

  ∙	1	a	b	c
  1	1	a	b	c
  a	a	1	c	b
  b	b	c	1	a
  c	c	b	a	1

  Тогда $V$ — внутреннее прямое произведение двухэлементных подгрупп $\{1,a\}$ и $\{1,b\}$.
• Пусть $\langle a\rangle$ — циклическая группа порядка $mn$, где $m$ и $n$ — взаимно простые числа. Тогда $\langle a^{n}\rangle$ и $\langle a^{m}\rangle$ — циклические подгруппы порядков $m$ и $n$ соответственно, и $\langle a\rangle$ является внутренним прямым произведением этих подгрупп.
• Пусть $\mathbb {C} ^{\times }$ — группа ненулевых комплексных чисел с операцией умножения. Тогда $\mathbb {C} ^{\times }$ является внутренним прямым произведением круговой группы $\mathbb {T}$, состоящей из комплексных чисел с модулем $1$, и группы $\mathbb {R} ^{+}$ положительных вещественных чисел с операцией умножения.
• Комплексная полная линейная группа $GL(n,\mathbb {C} )$ — внутреннее прямое произведение специальной линейной группы $SL(n,\mathbb {C} )$ и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц.
• Если $n$ — нечётное число, то вещественная полная линейная группа $GL(n,\mathbb {R} )$ — внутреннее прямое произведение специальной линейной группы $SL(n,\mathbb {R} )$ и подгруппы, состоящей из всех скалярных матриц.
• Аналогично, когда $n$ нечётно, ортогональная группа $O(n,\mathbb {R} )$ является внутренним прямым произведением специальной ортогональной группы $SO(n,\mathbb {R} )$ и двухэлементной подгруппы $\{-I,I\}$, где $I$ обозначает единичную матрицу.
• Группа симметрии куба — внутреннее прямое произведение подгруппы вращений куба и двухэлементной группы $\{-I,I\}$, где $I$ — единичный элемент, а $-I$ — точечное отражение через центр куба. Аналогичный факт справедлив и для группы симметрии икосаэдра.
• Пусть $n$ нечётно, и пусть $D_{4n}$ — диэдральная группа порядка $4n$:

  $D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$

  Тогда $D_{4n}$ является внутренним прямым произведением подгруппы $\langle r^{2},s\rangle$ (которая изоморфна $D_{2n}$) и двухэлементной подгруппы $\{1,r^{n}\}$.

Копредставления прямого произведения

Алгебраическая структура $G\times H$ может быть использована для копредставления прямого произведения с помощью копредставлений $G$ и $H$. В частности, предположим, что

$G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \$ и $\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,$

где $S_{G}$ и $S_{H}$ — (непересекающиеся) порождающие множества группы, а $R_{G}$ и $R_{H}$ — множества соотношений между порождающими. Тогда

$G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle$

где $R_{P}$ — множество соотношений, определяющих, что каждый элемент в $S_{G}$ коммутирует с каждым элементом в $S_{H}$.

Например, если

$G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \$ и $\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle$

то

$G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .$

Нормальная структура

Как было упомянуто выше, подгруппы $G$ и $H$ нормальны в $G\times H$. В частности, можно определить функции $\pi _{G}:G\times H\rightarrow G$ и $\pi _{H}:G\times H\rightarrow H$ формулами

$\pi _{G}(g,h)=g~$ и $~\pi _{H}(g,h)=h$.

Тогда $\pi _{G}$ и $\pi _{H}$ являются гомоморфизмами проекции с ядрами $H$ и $G$ соответственно.

Из этого следует, что $G\times H$ — расширение $G$ при помощи $H$ (или наоборот). В случае, когда $G\times H$ — конечная группа, композиционные факторы группы $G\times H$ являются в точности объединением композиционных факторов группы $G$ и композиционных факторов группы $H$.

Дополнительные свойства

Универсальное свойство

Основная статья: Произведение (теория категорий)

Прямое произведение $G\times H$ может быть охарактеризовано следующим универсальным свойством. Пусть $\pi _{G}:G\times H\rightarrow G$ и $\pi _{H}:G\times H\rightarrow H$ — гомоморфизмы проекции. Тогда для любой группы $P$ и любых гомоморфизмов $f_{G}:P\rightarrow G$ и $f_{H}:P\rightarrow H$ существует единственный гомоморфизм $f:P\rightarrow G\times H$, соответствующий следующей коммутативной диаграмме:

Иными словами, гомоморфизм $f$ задаётся формулой

$f(p)=(f_{G}(p),f_{H}(p))$.

Это частный случай универсального свойства для произведений в теории категорий.

Подгруппы

Если $A$ — подгруппа $G$ и $B$ — подгруппа $H$, то прямое произведение $A\times B$ является подгруппой $G\times H$. Например, изоморфной копией $G$ в $G\times H$ является произведение $G\times \{1\}$, где $\{1\}$ — тривиальная подгруппа $H$.

Если $A$ и $B$ нормальны, то $A\times B$ — нормальная подгруппа в $G\times H$. Более того, факторгруппа прямых произведений изоморфна прямому произведению частных:

$(G\times H)/(A\times B)\cong (G/A)\times (H/B)$.

Обратите внимание, что, вообще говоря, неверно, что каждая подгруппа из $G\times H$ является произведением подгруппы из $G$ на подгруппу из $H$. Например, если $G$ — любая нетривиальная группа, то произведение $G\times G$ имеет диагональную подгруппу

$\triangle =\{(g,g):g\in G\}$

которая не является прямым произведением двух подгрупп $G$.

Подгруппы прямых произведений описываются леммой Гурса́.

Сопряжённость и централизаторы

Два элемента $(g_{1},h_{1})$ и $(g_{2},h_{2})$ сопряжены в $G\times H$ тогда и только тогда, когда $g_{1}$ и $g_{2}$ сопряжены в $G$ и одновременно $h_{1}$ и $h_{2}$ сопряжены в $H$. Отсюда следует, что каждый класс сопряжённости в $G\times H$ является декартовым произведением класса сопряжённости в $G$ и класса сопряжённости в $H$.

Аналогично, если $(g,h)\in G\times H$, то централизатор $(g,h)$ является произведением централизаторов $g$ и $h$:

$C_{G\times H}(g,h)=C_{G}(g)\times C_{H}(h)$.

Также центр $G\times H$ является произведением центров $G$ и $H$:

$Z(G\times H)=Z(G)\times Z(H)$.

Нормализаторы ведут себя более сложным образом, поскольку не все подгруппы прямых произведений сами разлагаются на прямые произведения.

Автоморфизмы и эндоморфизмы

Если $\alpha$ — автоморфизм $G$, а $\beta$ — автоморфизм $H$, то произведение функций $\alpha \times \beta :G\times H\rightarrow G\times H$, определяемое формулой

$(\alpha \times \beta )(g,h)=(\alpha (g),\beta (h))$

является автоморфизмом $G\times H$. Из этого следует, что $\operatorname {Aut} (G\times H)$ содержит в себе подгруппу, изоморфную прямому произведению $\operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)$.

В общем случае неверно, что каждый автоморфизм $G\times H$ имеет вышеуказанный вид. Например, если $G$ — любая группа, то тогда существует автоморфизм $\sigma$ группы $G\times G$, который меняет местами два множителя, то есть

$\sigma (g_{1},g_{2})=(g_{2},g_{1})$.

Другой пример: группой автоморфизмов группы $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ является $GL(2,\mathbb {Z} )$ — группа всех матриц размера $2\times 2$ с целочисленными значениями и определителем, равным $\pm 1$. Эта группа автоморфизмов бесконечна, но лишь конечное число автоморфизмов задаются как $\alpha \times \beta$.

В общем случае, каждый эндоморфизм $G\times H$ можно записать в виде матрицы размера $2\times 2$

${\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}$

где $\alpha$ — эндоморфизм $G$, $\delta$ — эндоморфизм $H$, а $\beta :H\rightarrow G$ и $\gamma :G\rightarrow H$ — гомоморфизмы. Эта матрица должна иметь свойство, что каждый элемент образа $\alpha$ коммутирует с каждым элементом образа $\beta$, а каждый элемент образа $\gamma$ коммутирует с каждым элементом образа $\delta$.

Когда $G$ и $H$ — неразложимые группы с тривиальными центрами, то группа автоморфизмов прямого произведения относительно проста: $\operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)$, если $G$ и $H$ не изоморфны, и $\operatorname {Aut} (G)~wr~2$, если $G\cong H$, где $wr$ обозначает сплетение. Это часть теоремы Крулля—Шмидта, в более общем случае она справедлива для конечных прямых произведений.

Обобщения

Конечные прямые произведения

Можно взять прямое произведение более, чем двух групп одновременно. Для конечной последовательности групп $G_{1},...,G_{n}$ прямое произведение

$\prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n}$

определяется следующим образом:

• Элементами $G_{1}\times \cdots \times G_{n}$ являются кортежи $(g_{1},...,g_{n})$, где $g_{i}\in G_{i}$ для любого $i$.
• Операция на $G_{1}\times \cdots \times G_{n}$ определяется покомпонентно:

  $(g_{1},...,g_{n})(g'_{1},...,g'_{n})=(g_{1}g'_{1},...,g_{n}g'_{n})$.

Оно обладает множеством свойств, которыми обладает прямое произведение двух групп, и может быть алгебраически охарактеризовано аналогичным образом.

Бесконечные прямые произведения

Также можно взять прямое произведение бесконечного числа групп. Для бесконечной последовательности групп $G_{1},G_{2},...$ это можно определить точно так же, как для конечного прямого произведения, с элементами бесконечного прямого произведения, являющимися бесконечными кортежами.

В более общем смысле, для индексированного семейства групп $\{G_{i}\}_{i\in I}$ прямое произведение $\Pi _{i\in I}G_{i}$ определяется следующим образом:

• Элементы $\Pi _{i\in I}G_{i}$ — это элементы бесконечного декартова произведения множеств $G_{i}$; т. е. элементы бесконечного декартова произведения можно понимать как функции $f:I\rightarrow \bigcup _{i\in I}G_{i}$ с таким свойством, что $f(i)\in G_{i}$ для любого $i$.
• Произведение двух элементов $f,g$ определяется покомпонентно:

  $(f\cdot g)(i)=f(i)\cdot g(i)$.

В отличие от конечного прямого произведения, бесконечное прямое произведение $\Pi _{i\in I}G_{i}$ не порождается элементами изоморфных подгрупп $\{G_{i}\}_{i\in I}$. Вместо этого эти подгруппы порождают подгруппу прямого произведения, известную как бесконечная прямая сумма, которая состоит из всех элементов, имеющих лишь конечное число неединичных компонентов.

Другие произведения

Полупрямые произведения

Основная статья: Полупрямое произведение

Напомним, что группа $P$ с подгруппами $G$ и $H$ изоморфна прямому произведению $G$ и $H$, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Пересечение $G\cap H$ является тривиальной группой.
2. Каждый элемент из $P$ можно однозначно представить как произведение элемента из $G$ и элемента из $H$.
3. И $G$, и $H$ являются нормальными в $P$.

Полупрямое произведение $G$ и $H$ получается ослаблением третьего условия, так что только одна из двух подгрупп $G$, $H$ должна быть нормальной. Полученное произведение по-прежнему состоит из упорядоченных пар $(g,h)$, но с немного более сложным правилом умножения.

Также можно полностью ослабить третье условие, не требуя ни от одной из подгрупп нормальности. В этом случае группа $P$ называется произведением Заппы—Сепа групп $G$ и $H$.

Свободные произведения

Основная статья: Свободное произведение

Свободное произведение групп $G$ и $H$, обычно обозначаемое как $G*H$, похоже на прямое произведение, за исключением того, что подгруппы $G$ и $H$ группы $G*H$ не обязаны коммутировать. А именно, если

$G=\langle ~S_{G}~|~R_{G}~\rangle$ и $H=\langle ~S_{H}~|~R_{H}~\rangle$,

являются копредставлениями $G$ и $H$, то

$G*H=\langle ~S_{G}\cup S_{H}~|~R_{G}\cup R_{H}~\rangle$.

В отличие от прямого произведения, элементы свободного произведения не могут быть представлены упорядоченными парами. К тому же свободное произведение любых двух нетривиальных групп бесконечно. Свободное произведение, как ни странно, является копроизведением в категории групп.

Подпрямые произведения

Основная статья: Подпрямое произведение

Если $G$ и $H$ — группы, то подпрямым произведением $G$ и $H$ является любая подгруппа $G\times H$, которая отображается сюръективно в $G$ и $H$ под действием гомоморфизмов проекции. Согласно лемме Гурса, каждое подпрямое произведение является расслоённым.

Расслоённые произведения

Основная статья: Расслоённое произведение

Пусть $G$, $H$ и $Q$ — группы, и пусть $\varphi :G\rightarrow Q$ и $\chi :H\rightarrow Q$ — гомоморфизмы. Расслоённое произведение $G$ и $H$ над $Q$ представляет собой следующую подгруппу $G\times H$:

$G\times _{Q}H=\{(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\}$.

Если $\varphi :G\rightarrow Q$ и $\chi :H\rightarrow Q$ — эпиморфизмы, то это подпрямое произведение.

Литература

• Майкл Артин. Алгебра. — Prentice Hall, 1991. — ISBN 978-0-89871-510-1.
• Израиль Натан Херштейн. Абстрактная алгебра. — 3-е изд. — Сэддл Ривер, Нью Джерси: Prentice Hall Inc., 1996. — ISBN 978-0-13-374562-7.
• Израиль Натан Херштейн. Topics in algebra. — 2-е изд. — Лексингтон, Массачусетс: Xerox College Publishing, 1975.
• Серж Ленг. Алгебра. — исправленное 3-е изд. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2002. — ISBN 978-0-387-95385-4.
• Серж Ленг. Undergraduate algebra. — 3-е изд. — Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, 2005. — ISBN 978-0-387-22025-3.
• Дерек Джон Скотт Робинсон. Курс теории групп. — Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1996. — ISBN 978-0-387-94461-6.